高中数学教案-条件概率

2.2.1条件概率我们知道求事件的概率有加法公式：注:1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的和事件,记为(或);ABAB复习引入：()()()PABPAPB若事件A与B互斥，则.那么怎么求A与B的积事件AB呢?2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,记为(或);ABAB?)(BAP3.若为不可能事件,则说事件A与B互斥.BAP(AB)=?P(A)=?例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，容易看到)()(636131BPBAPP(A|B)探究问题61P(B)=?2161在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).A,B事件是有联系的)()|(APBAPP(A)=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，问在取到正品的前提下取到一等品的概率是多少？B={取到正品}记A={取到一等品}，P(A|B)=？)()(10710373BPBAP)()(636131BPBAPP(A|B)P(AB)=3/10，107)(BPP(A)=3/10，B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A={取到一等品}，计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在新增的条件下导致的某个缩小了的范围内来考虑问题.)()|(APBAP数发生的条件下基本事件在包含的基本事件数发生的条件下在ABAABP)|(中包含的基本事件数中包含的基本事件数ABA)()(AcardBAcard/)(/)(AcardBAcard)()(APBAP【问题】一般情况下，P(Ｂ|Ａ)≠P(Ｂ)，那么P(Ｂ|Ａ)＝？BABA二、条件概率的定义（计算公式）定义设A、B是两个事件，且,0)(AP则称)()(APBAPABP）（(1)为在事件A发生的条件下，事件B的条件概率.BABA若在事件A已发生的条件下，基本事件空间由Ω缩小为事件A，为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的基本事件,即此点必属于A∩B.深化理解)()(APBAPABP）（1、准确把握公式的形式。)()(|BPBAPBAP）（在A发生的条件下事件B的概率在B发生的条件下事件A的概率2、计算条件概率的两种思维。(1)用上面的公式计算;(2)根据加入条件后改变了的情况来计算.2)从加入条件后改变了的情况去算1)用定义计算:316361)()()|(BPBAPBAP掷骰子例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}P(A|B）=31B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1:)()()|(BPBAPBAP解法2:2163)|(BAP解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算21366363例2:甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求：（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；（2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.解设A={甲市是雨天}，B={乙市是雨天}，P(A)=0.2，P(B)=0.18，P(A∩B)=0.12，则()0.12(|)0.67,()0.18PABPABPB()0.12(|)0.60,()0.2PABPBAPA【例题讲解】例3某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示“活到25岁”(即≥25)则()0.7,()0.56PAPB所求概率为()()()0.8()()PABPBPBAPAPAAB0.560.75BAABB由于故，例4在6道题中有4道理科题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题（1）第一次抽到理科题的概率（2）第一次与第二次都抽到理科题的概率（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.)()()|(BPBAPBAP三、两个事件同时发生概率计算公式?)(BAP)()(APBAPABP）（)|()()|()()(BAPBPABPAPBAPB)P(A,52)AP(,21A)|P(B,BA,求已知为两个事件设例5条件概率P(A|B)与P(A)的区别每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P()＝4/51A第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，iA则表示“第i个人未抽到入场券”因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA由于由乘法公式计算得：P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，我们说，在事件B发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于A的无条件概率.但是，会不会出现P(A)=P(A|B)的情形呢？这个问题留待下一节讨论.这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.