平面向量高考试题解法分析

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第1页共7页平面向量高考试题解法分析平面向量是新教材改革增加的内容之一,近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度,本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析,解决一些相关问题新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆解决关于向量问题时,一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确地进行向量的各种运算,加深对向量的本质的认识新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量的数量积常用于有关向量相等,两向量垂直、射影、夹角等问题中新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题;利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆用向量解决几何问题一般可按以下过程进行思考新疆王新敞特级教师源头学子小屋@126.comwxckt@126.com源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪些向量?(2)所需要的向量是否已知?若未知,是否可用已知条件转化成的向量直接表示?(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示,则它们分别最易用哪个未知向量表示?这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系?(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能得到需要的结论?高考对平面向量的考查主要分两类:1.以选择、填空题型考查平面向量的基本概念和性质,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算以及平面向量的数量积及其几何意义等。此类试题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形的形状等。2.平面向量与其他知识的综合问题,其形式为与几何图形、解析几何、三角函数等交汇,凸显向量的工具性,解决角度、垂直、平行以及图形的平移等问题。第2页共7页向量具有“数”和“形”的特征,为数形结合提供了良好的载体。高考通过对平面向量的考查,也着意考查蕴含在其中的数形结合、转化与化归、分类讨论、函数与方程等数学思想的考查。一、向量共线定理的应用例1.(14北京)向量b,a满足)1,2(b,1a,且)(0baR,则5例2.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且2,DCBD2,CEEA2,AFFB则ADBECF与BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直例3.(辽宁卷5)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足20ACCB,则OC(A)A.2OAOBB.2OAOBC.2133OAOBD.1233OAOB二、平面向量基本定理(特别强调系数的正负与向量之间的关系)例1、(2014福建)在下列向量组中,可以把向量)2,3(a表示出来的是(B))2,5()2,1(.)2,1()0,0(.2121eeBeeA)3,2()3,2(.)10,6()5,3(.2121eeDeeC例2.(2015北京)ABC中,点M,N满足NCBNMCAM,2,若ACyABxMN,则x,y11,26例3.(2015新课标1)设D为ABC所在平面内一点,CDBC3,则(A)ACABADA3431.ACABADB3431.ACABADC3134.ACABADD3134.例4.如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=32,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为6.本题可以用不同方法:几何法或(模的平方、垂直数量积为0),或三点共线法例5、ΔABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3→OA+4→OB+5→OC=→0。①求数量积,→OA·→OB,→OB·→OC,第3页共7页→OC·→OA;②求ΔABC的面积。(方法1:利用条件的几何意义及向量基本定理及加法法则可得结论;方法2:向量的平方∴→OA·→OB=0,→OB·→OC=-45,→OA·→OC=-35,ABCs=65)三、两个重要结论1.ABC中,若D是BC中点,则ADACAB22.若A,B,C三点共线,O是平面内任意一点,则一定存在实数,使OBOAOC且1.反之也成立.(再具体研究一下,三点共线时,三点的位置与系数的正负或范围)例1.(14课标1)已知A,B,C为圆O上的三点,若)(21ACABAO,则AB与AC的夹角为90例2.(2013四川)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,,AOADAB2例3.[2014·福建卷]设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA→+OB→+OC→+OD→等于(D)A.OM→B.2OM→C.3OM→D.4OM→例4.(2013安徽)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足OBOA=2OBOA,则点集ROBOAOPP,,1,所表示的区域的面积为(34)例5.(1)(06湖南卷)如图,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OPxOAyOB,则x的取值范围是(-∞,0);当12x时,y的取值范围是(21,23)。此题可用不同方法:1.基本定理2.三点共线补充题:扇形OAB的弧上有一点P,满足OPxOAyOB,已知扇形的圆心角为120度,求x+y的最大值(2)。改为60度又如何?(332)四.关于数量积(三选二、平方、移项合并、夹角、转化)例1.已知O在ABC所在平面内,且PAPBPBPCPCPA,则点O是ABC的例2.(2012年高考(湖南文))如图4,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,3AP且APAC=____18_.例3.[2014·江西卷]已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=13,ADBCP第4页共7页向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ=__223__例4.(14天津)菱形的边长为2,0120BAD,点E,F分别在边BC,DC上,DCDFBCBE,,若1AFAE,32CFCE则65例5.(2014江苏)在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,点P在边CD上,2AP,3BPPDCP,则ADAB的值22例6.(2015四川)设四边形ABCD是平行四边形,4,6ADAB,若M,N满足NCDNMCBM2,3,则NMAM=(9)例7.(2012年高考(浙江文))在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则ABAC=___-16_____.例8.(2010天津文数)如图,在ΔABC中,ADAB,3BCBD,1AD,则ACAD=D(A)23(B)32(C)33(D)3可以用多种方法解||||cos||cos||sinACADACADDACACDACACBAC∠∠∠sinB3BC五、单位向量的理解例1.(2015福建)已知tACtABACAB,1,,若点P是ABC所在平面内一点,且ACACABABAP4,则PCPB的最大值等于13六、坐标法将向量运算坐标化例1.(同上例)例2.(2013北京)向量cba,,在正方形网格中的位置如图所示,若),(Rbac,则4例3.(2012江苏)如图,在正方形ABCD中,2,2BCAB,点E为BC的中点,点F在边CD上,若2AFAB,则BFAE的值是_D_B_C_A_E_F第5页共7页例4.(2013重庆)在平面上,212121,1,ABABAPOBOBABAB,若OP21,则OA的取值范围是()七.向量运算的几何意义例1.(2013湖南)已知向量a与b是单位向量,0ba,若向量c满足1bac,则c的取值范围是(2-1,2+1,)例2.a、b、c是单位向量,且a·b=0,则acbc的最小值为(.12)例3.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足0)cb()ca(,则c的最大值是第6页共7页例4..若a,b,c均为单位向量,且0ba,0)()(cbca,则||cba的最大值为例5.设向量,,abc满足1||||1,,,602ababacbc,则||c的最大值等于(A)2例6.(2013浙江)设ABC,0P是边AB上一定点,满足ABBP410,且对于线段AB上的任一点P,恒有CPBPPCPB00,则(d)(此题亦可以用坐标法)BCAC.ACAB.90.90ABC.00DCBACBA八、向量综合应用例1.[2014·安徽卷]设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为(π3)例2(15年天津文科)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥CD,2,1,60,ABBCABC点E和点F分别在线段BC和CD上,且21,,36BEBCDFDC则AEAF的值为2918.例3.(2015湖南)已知点A,B,C在圆122yx上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标(2,0),则PCPBPA的最大值(B)A.6B.7C.8D.9例4.(2014安徽)在平面直角坐标系XOY中,已知向量0ba,1ba,b,a,点Q满足)(2baOQ,曲线20,sincosbaOPPC区域PRrROPr,0,若C是两段分离的曲线,则(a)RrDRrCRrBRrA

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