2.1数列的概念与简单表示法(第二课时)

第二章数列2.1数列的概念与简单表示法（2）复习导入：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.数列一般可以写成：a1,a2,a3,a4,…,an,…简记为：{an}（1）列举法（2）图象法（3）通项公式法（4）递推公式法(1)按项数分：有穷数列与无穷数列；(2)按项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.数列的实质:从函数的观点看，数列的项是序号n的函数.即数列可以看成以正整数集（或它的有限子集{1,2，…，n}）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f（x）,如果f（i）（i=1,2,3，…）有意义，那么我们可以得到一个数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…na*Nna=f（n）思考1：类比函数的单调性的证明方法，如何判断数列的单调性？作差法：作商法：{}{}是递减数列则数列恒成立②若是递增数列；则数列恒成立①若nnnnnnaaaaaa,0-,0-11++{}{}{}{}是递减数列；时，数列当是递增数列，时，数列则当②若是递减数列；时，数列当是递增数列，时，数列则当①若nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa11,011,01111++++函数法：将通项公式转化为函数的形式，通过函数的单调性来确定数列的单调性.学习新课：思考2：如何利用数列的单调性求数列的最大项和最小项？应该满足，则若求最小项应该满足，则若求最大项列的增减性加以解决最小项的探求可通过数①数列中的最大项或是nnnnaaaa.{{1≥+nnaa1-≥nnaa1+≤nnaa1-nnaa≤.∈*，这一条件注意的最值问题，但此时应最值来解决数列的函数，通过求函数的②将数列看作一个特殊Nn例题分析：证明：{}.1.122数列，求证：此数列为递增的通项公式已知数列例+=nnaann1-1)1()1(-22221++++=+nnnnaann)1](1)1[(]1)1[(-)1](1)1[()1()1(22222222++++++++++=nnnnnnnn)1](1)1[(]1)1[(-)1()1(222222+++++++=nnnnnn)1](1)1[(1222++++=nnn*Nn∈又，0-∴1+nnaannaa+1即{}是递增数列数列na∴总结：.,1的大小较相邻两项递减数列，关键就是比判断数列是递增数列或nnaa+练习：{}的取值范围是则是递增数列，且已知数列tntnaann,1)1(++=【】(],1-.∝A(),1∝-.B[)∝,1.+C()∝,1.+D解：11-11+++=++=ntnntnan11-11++++=ntnn11-1++=nt{}是递增数列数列na0-1∴+nnaa即0]11-1[-1)1(1-1+++++ntnt0)2)(1(-1++nnt,∈*Nn又0)2)(1(++∴nn0-∴1t1∴tt的取值范围{}).∈(2-)(log2-2)()2(*2-Nnnafaxfnnxx==满足，数列已知函数{}的通项公式；①求数列na{}.的增减性②判断数列na解：nafxfnxx2-)(log2-2)(2-==，①nnnaa2-2-222log-log=∴naann2-1-=即01-2∴2=+nnnaa1-2+±=nnan解得）（，*21-0Nnnnaann∈++=∴nnnnaann-1)1(-1)1(221++++=+②[]()[]()()[])1(1)1(1-1)1(1)1(1)1(-1)1(222222++++•++•+++++•++•+++=nnnnnnnnnnnn1)1(1)1(122++++++=nnnnnnnaaa+1∴0，{}.是递减数列数列na∴{}中有没有最大项？试问数列已知例nnnnaNnna),∈(10)1(9.2*+=.由项；若果没有，说明理如果有，求出这个最大解：有最大项，nnaa-1+nnnnnn10)1(9-10)11(911+++=++)1()109(-)2()109(1+•+•=+nnnn)]1()910(-)2[()109(1+•+•=+nnn9-8)109(1nn•=+={)7(09-8)109(1时，≤•+nnn)8(09-8)109(1时，==•+nnn)9(09-8)109(1时，≥•+nnn…=…∴1110987321aaaaaaaa{}8998109∴==aaan最大项为存在最大项，数列总结：注意函数的定义域。的最大（小）值，但要其实质是求函数数列的最大（小）项，已知数列的通项公式求：大（小）项的基本思路已知数列通项公式求最练习：{}).()1110)(1(*Nnnaannn∈+=中，在数列{}.)1(先递增，后递减求证：数列na{}.)2(的最大项求数列na解：1)1110()1110)(1(),2(1)1(1-1-≥•+≥≥nnnnnnnaa即令10,10111≤≥+nnn解得，整理得，1≥)1110()2()1110)(1(,1≥11++•++nnnnnnaa即令9,1110≥21≥++nnn解得，整理得，109aa=又项递增，项开始到第从第91∴.10项起往后递减从第.1110)1()2(910109最大知由==aa{}项，并归纳出写出的前满足已知数列例5),1-2(,0)1.(311naaaannn+==+.数列的一个通项公式)1-2(,011naaann+==+1)1-12(12=×+=∴aa4)1-22(23=×+=aa9)1-32(34=×+=aa16)1-42(45=×+=aa2)1-(nan=∴该数列的通项公式为：解：{}.-,6,3)2(1221nnnnaaaaaa++===满足数列.8项①写出此数列的前2018a②求解：nnnaaaaa-,6,31221++===①33-6-123===∴aaa-36-3-234===aaa-63-3--345===aaa-3(-3)-6--456===aaa3(-6)-3--567===aaa6(-3)-3-678===aaa.6项一循环，具有周期性②由①可知，此数列233662018……=÷6∴22018==aa练习：{}.),2≥(22)1(1-1nnnnanaaaa求数列的通项公式，，已知数列==解：2,211-==aaann422212=×==∴aa842223=×==aa1682234=×==aa32162245=×==aa…nna2∴=该数列的通项公式法二1-2nnaa=21-=∴nnaa12233-2-2-1-1-∴aaaaaaaaaaannnnnnn••…•••=22222××…×××=2个nn2=.,221)2(11nnnnaaaaa求通项公式，已知+==+解：22111+==+nnnaaaa，32211222112=+×=+=∴aaa2123232222223=+×=+=aaa5222121222334=+×=+=aaa3125252222445=+×=+=aaa3152213215∴，，，，项为：该数列的前152142132122112+++++，，，，可以写成：12∴+=nan它的一个通项公式为：