材料力学教案-第3章-扭转

第3章扭转教学目的：理解圆轴扭转的受力和变形特点，剪应力互等定理；掌握圆轴受扭时的内力、应力、变形的计算；熟练掌握圆轴受扭时的强度、刚度计算。教学重点：外力偶矩的计算、扭矩图的画法；纯剪切的切应力；圆杆扭转时应力和变形；扭转的应变能。教学难点：圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别；掌握扭转时的强度条件和刚度条件，能熟练运用强度和刚度计算。教具：多媒体。通过工程实例建立扭转概念，利用幻灯片演示和实物演示表示扭转时的变形。教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。通过例题、练习和作业熟练掌握强度和刚度计算。本章中给出了具体情形下具体量的计算公式，记住并会使用这些公式，强调单位的统一，要求学生在学习和作业中体会。教学内容：扭转的概念；扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；扭转时的切应力和变形，圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法。教学学时：6学时。教学提纲：3.1扭转的概念和实例工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合变形。例如，汽车方向盘下的转向轴，攻螺纹用丝锥的锥杆（图3-1）等，其受力特点是：在杆件两端作用大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶。在这样一对力偶的作用下，杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。扭转时杆件两个横截面相对转动的角度，称为扭转角，一般用φ表示（图3-2）。以扭转变形为主的杆件通常称为轴。截面形状为圆形的轴称为圆轴，圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。图3-1图3-2本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度及刚度计算等问题，同时非圆截面杆进行简单介绍。作为扭转问题的应用，介绍了圆柱形密圈螺旋弹簧应力及变形的计算。3.2外力偶矩与扭矩的计算扭矩图3.2.1外力偶矩的计算轴扭转时的外力，通常用外力偶矩eM表示。但工程上许多受扭构件，如传动轴等，往往并不直接给出其外力偶矩，而是给出轴所传递的功率和转速，这时可用下述方法计算作用于轴上的外力偶矩。设某轴传递的功率为kP，转速为n，单位minr（每分钟转速），由理论力学可知，该轴的力偶矩eM为kePM其中，为该轴的角速度)srad(，602n。若kP的单位为千瓦)kw(，则nPMke9549)mN()13(若kP的单位为马力)W5.735hp1(，则nPMke7024)mN()23(应当指出，外界输入的主动力矩，其方向与轴的转向一致，而阻力矩的方向与轴的转向相反。3.2.2扭矩和扭矩图作用在轴上的外力偶矩eM确定之后，即可用截面法研究其内力。现以图3-3)(a所示圆轴为例，假想地将圆轴沿nn截面分成左、右两部分，保留左部分作为研究对象，图3-3)(b。由于整个轴是平衡的，所以左部分也处于平衡状态，这就要求截面nn上的内力系必须归结为一个内力偶矩T，且由左部分的平衡方程0eMT得eMT力偶矩T称为截面nn上的扭矩，是左、右两部分在nn截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩。扭矩的符号规定如下：若按右手螺旋法则，把T表示为双矢量，当双矢量方向与截面的外法线方向一致时，T为正，反之为负（图3-4）。按照这一符号规定，图3-3)(b中所示扭矩T的符号为正。当保留右部分时，图3-3)(c，所得扭矩的大小、符号将与按保留左部图3-3分计算结果相同，如图3-3。补充知识：右手手心朝向转动轴并握住它，四指指尖与物体转动方向一致，伸开拇指，若拇指指向与转轴的正向一致，则力对轴的矩为正，反之，为负。图3-4若作用于轴上的外力偶多于两个，也与拉伸（压缩）问题中画轴力图一样，往往用图线来表示各横截面上的扭矩沿轴线变化的情况。图中以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应横截面上的扭矩。这种图线称为扭矩图。图3-3)(d为图3-3)(a所示受扭圆轴的扭矩图。例传动轴如图3-5)(a所示，主动轮A输入功率hp50AP，从动轮B、C、D输出功率分别为hp15CBPP，hp20DP，轴的转速为minr300n，试画出轴的扭矩图。解按公式)23(计算出作用于各轮上的外力偶矩。mN1170mN300507024eAM图3-5mN351mN300157024eCeBMMmN468mN300207024eDM从受力情况看出，轴在BC、CA、AD三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。在BC段内，以1T表示1-1截面上的扭矩，并假设1T的方向为正向，如图3-5)(b所示。由平衡方程01eBMT得mNMTeB3511等号右边的负号说明，在图3-5)(b中对1T所假定的方向与1-1截面上的实际扭矩方向相反。在BC段内，各截面上的扭矩不变，皆为mN351。所以在这一段内扭矩图为一水平线，如图3-5)(e。在CA段内，由图4-5)(c，得02eBeCMMTmN7022eBeCMMT在AD段内，由图4-5)(d，得03eDMTmN4683eDMT根据所得数据，把各截面上的扭矩沿轴线变化的情况，用图3-5)(e表示出来，就是扭矩图。从图中看出，最大扭矩发生于CA段内，且mN702maxT对于同一根轴，若把主动轮A安置于轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图将如图3-6所示。这时，轴的最大扭矩是mN1170maxT。可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。两者相比，显然图3-5所示布局比较合理。图3-6小结：本节课主要讲了扭转变形的概念，扭矩的计算方法，以及纯剪切的条件下的应变计算。3.3纯剪切在讨论圆轴扭转的应力和变形之前，为了研究切应力和切应变的规律以及两者之间的关系，先考察薄壁圆筒的扭转。所谓的薄壁圆筒，即是其平均半径r≥10δ的圆筒。3.3.1薄壁圆筒扭转时的切应力图3-7)(a所示为一等厚薄壁圆筒,受扭前在表面上画上等间距的圆周线和纵向线。实验结果表明，扭转变形后由于截面qq对截面pp的相对转动，使得圆周线和纵向线所形成的方格的左、右两边发生相对错动，但圆筒轴线及周线的长度都没有变化。于是可设想，薄壁圆筒扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，相邻两横截面只是绕圆筒轴线发生相对转动。因此，圆筒横截面和包含轴的纵向截面上都没有正应力，横截面上各点只有切应力，且切应力的方向必与圆周相切。圆筒两端截面之间相对转动的角度，称为相对扭转角，用俯表示，图3-7)(b，而圆筒表面上每个格子的直角都改变了相同的角度，图3-7)(b、3-7)(c，这种直角的改变量，称为切应变。图3-7由相邻两圆周线间每个格子的直角改变量相等的现象，并根据材料是均匀连续的假设，可以推知，沿圆周各点处切应力的方向与圆周相切，且数值相等，同时，由于筒壁的厚度δ很小，可以认为沿筒壁厚度切应力不变，图3-7)(c。这样，横截面上内力系组成与外加扭转力偶矩Me相平衡的内力系。由qq截面以左的部分圆筒的平衡方程0xM，得Me=2πrτδr22rMe)33(这里r是圆筒的平均半径。式)33(是基于前面的假设而得到的近似公式，可以证明，当10rt时，该公式足够精确，其误差不超过5%。3.3.2切应力互等定律用相邻的两个横截面和相邻的两个纵向平面，从薄壁圆筒中取出一个单元体，它在三个方向的尺寸分别为xd、yd和δ，将其放大为图3-7)(d。单元体的左右两侧面是薄壁圆筒横截面的一部分，所以在这两个侧面上，没有正应力，只有切应力。这两个面上的切应力皆由式)33(计算，数值相等，但方向相反，其力偶矩为xyd)d(。因为单元体是平衡的，由0xF知，它的上、下两个侧面上存在大小相等、方向相反的切应力，于是又组成力偶矩为yxd)d(的力偶与上述力偶平衡。这样，由单元体的平衡条件0yM，得xytd)d(yxtd)d(由此求得)43(式)43(表明，在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这就是切应力互等定理，也称为切应力双生定理。3.3.3切应变、剪切虎克定律在上述单元体的上下左右四个侧面上，只有切应力而无正应力，这种情况称为纯剪切。纯剪切常用图3-8所示的平面图形表示。薄壁圆筒扭转时，筒壁各处都处于纯剪切。图3-8在纯剪切情况下，单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，图3-7)(e，原来相互垂直的两个棱边的夹角，改变了一个微量，这就是切应变。由图3-7)(b可以看出，若为薄壁圆筒两端截面的相对转角，l为圆筒的长度，则切应变应为lr)(a式中r为薄壁圆筒的平均半径。利用上述薄壁圆筒的扭转，可以实现纯切实验。实验结果表明，当切应力不超过材料的剪切比例极限p时，扭转角与扭转力偶矩eM成正比。由式)33(和式)(a可以看出,与只相差一个比例常数，而eM与也只差一个比例常数。所以上述实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限p时，切应变与切应力成正比（图3-9）。这就是材料的剪切虎克定律，可以写成G)53(式中G为比例常数，称为材料的切变模量。因为没有量纲，所以G的量纲与的量纲相同，常用单位是GPa。钢的G值约为80GPa。图3-9在讨论拉伸和压缩时，曾引进材料的两个弹性常数：弹性模量E和泊松比。现在又引进一个新的弹性常数：切变模量G。对各向同性材料，可以证明，三个弹性常数E、G、之间存在下列关系)1(2EG)63(可见，三个弹性常数中只要知道任意两个，另一个就可确定，即三个弹性常数中只有两个是独立的。3.4圆轴扭转时的应力现在讨论横截面为圆形的直杆受扭时的应力。这要综合研究几何、物理和静力等三方面的关系。3.4.1变形几何关系为了观察圆轴的扭转变形，与薄壁圆筒受扭一样，在圆轴表面上做圆周线和纵向线（在图3-10)(a中，变形前的纵向线由虚线表示）。在扭转力偶矩eM作用下，得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象。即：各圆周线绕轴线相对地旋转了一个角度，但大小、形状和相邻圆周线间的距离不变。在小变形的情况下，纵向线仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。变形前表面上的方格，变形后错动成平行四边形。根据观察到的现象，做下述基本假设：圆轴扭转变形前原为平面的截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线，且相邻两截面间的距离不变。这就是圆轴扭转的平面假设。按照这一假设，扭转变形中，圆轴的横截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。以平面假设为基础导出的应力和变形计算公式，符合试验结果，且与弹性力学一致，这都足以说明假设是正确的。在图3-10)(a中，表示圆轴两端截面的相对转角，称为扭转角。扭转角用弧度来度量。用相邻的横截面pp和qq从轴中取出长为dx的微段，并放大为图3-10)(b。若截面pp和qq的相对转角为d，则根据平面假设，横截面qq像刚性平面一样，相对于pp绕轴线旋转了一个角度d，半径Oa转到了aO。于是，表面方格abcd的ab边相对于cd边发生了微小的错动，错动的距离是dRaa，因而引起原为直角的abc角度发生改变，改变量为xRadaadd)(a图3-10这就是圆截面边缘上a点的切应变。显然，发生在垂直于半径Oa的平面内。根据变形后横截面仍为平面，半径仍为直线的假设，用相同的方法，并参考图3-10)(c，可以求得距圆心为处的切应变为xdd)(b与式)(a中的一样，也发生在与垂直与半径Oa的平面内。在)(a、)(b两式中，xdd是扭转角