材料力学教案-第9章-组合变形

材料力学教案第9章组合变形教学目的：掌握组合变形的概念；掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等；正确区分斜弯曲和平面弯曲；了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。教学重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯等组合变形形式的应力和强度计算。教学难点：1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形。2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。教具：多媒体。教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。教学内容：讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法--叠加法；举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别；讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算；讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算；讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算；讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算；简单介绍截面核心的概念和计算。教学学时：4学时。教学提纲：9.1组合变形和叠加原理在前面各章中分别讨论了杆件在拉伸（或压缩）、剪切、扭转和弯曲（主要是平面弯曲）四种基本变形时的内力、应力及变形计算，并建立了相应的强度条材料力学教案件。另外，也讨论了复杂应力状态下的应力分析及强度理论。但在实际工程中杆件的受力有时是很复杂的，如图9-1所示的一端固定另一端自由的悬臂杆，若在其自由端截面上作用有一空间任意的力系，我们总可以把空间的任意力系沿截面形心主惯性轴xOyz简化，得到向x，y，z三坐标轴上投影xP，yP，zP和对x，y，z三坐标轴的力矩xM，yM，zM。当这六种力（或力矩）中只有某一个作用时，杆件产生基本变形，这在前面已经讨论过了。图9-1杆件的复杂受力杆件同时有二种或二种以上的基本变形的组合时，称为组合变形，例如：若六种力只有xP和zM（或yM）二个作用时，杆件既产生拉（或压）变形又产生纯弯曲，简称为拉（压）纯弯曲的组合，又可称它为偏心拉（压），如图9-2（a）。若六种力中只有zM和yM二个作用时，杆件产生两个互相垂直方向的平面弯曲（纯弯曲）的组合，如图9-2（b）。若六种力中只有zP和yP二个作用时，杆件也产生两个互相垂直方向的平面弯曲（横力弯曲）的组合，如图9-2（c）。若六种力中只有对yP和xM二个作用时，杆件产生弯曲和扭转的组合，如图9-2（d）。若六种力中有xP，yP和xM三个作用时，杆件产生拉（压）与弯曲和扭转的材料力学教案组合，如图9-2（e）。组合变形的工程实例是很多的，例如，图9-3（a）所示屋架上檩条的变形，是由檩条在y，z二方向的平面弯曲变形所组合的斜弯曲；图9-3（b）表示一悬臂吊车，当在横梁AB跨中的任一点处起吊重物时，梁AB中不仅有弯矩作用，而且还有轴向压力作用，从而使梁处在压缩和弯曲的组合变形情况下；图9-3（c）中所示的空心桥墩（或渡槽支墩），图9-3（d）中所示的厂房支柱，在偏心力1P，2P作用下，也都会发生压缩和弯曲的组合变形；图9-3（e）中所示的卷扬机机轴，在力P作用下，则会发生弯曲和扭转的组合变形。（a）（c）（b）（d）（e）图9-2几种组合变形材料力学教案檩条桁架檩条桁架上弦杆(a)屋架12屋顶薄腹梁吊车梁柱(b)悬臂吊车(c)空心墩(d)厂房支柱(e)卷扬机轴图9-3组合变形的实例小变形假设和虎克定律有效的情况下可根据叠加原理来处理杆件的组合变．．．形．问题。即首先将杆件的变形分解为基本变形，然后分别考虑杆件在每一种基本变形情况下所发生的应力、应变或位移，最后再将它们叠加起来，即可得到杆件在组合变形情况下所发生的应力、应变或位移。为了便于读者研究杆件的组合变形问题，表9-1列出了杆件在四种基本变形情况下的外力、内力、应力和变形的计算公式以及强度条件，作为前面内容的小结。在本章中，将着重介绍工程实际中遇到较多的三种组合变形问题，即：（1）两个平面弯曲的组合；（2）拉伸或压缩与弯曲的组合（包括偏心拉伸或压缩）；（3）扭转与弯曲的组合。材料力学教案表9-1杆件在四种基本变形情况下的外力、内力、应力和变形的计算公式以及强度条件基本变形类型拉伸(压缩)剪切扭转弯曲受力特点PPPPPPmnmnP横截面内力N(轴力)Q(剪力)nM(扭矩)M(弯矩)Q(剪力)横截面上的应力分布情况P(均布)P(假设均布)mn(线性分布)M(线性分布)Q(抛物线分布)应力计算公式ANAQIMnIMybIQS变形计算公式EANllpnGIlM])([1CdxxMEIdxdy]))(([1DCxdxdxxMEIy危险截面上最大应力计算公式ANmaxmaxpnWMmaxmaxWMmaxmaxbISQmaxmaxmax强度条件ANmaxmax≤][≤][pnWMmaxmax≤][WMmaxmax≤][bISQmaxmaxmax≤][材料力学教案9.2拉伸或压缩与弯曲的组合若作用在杆上的外力除轴向力外，还有横向力，则杆将发生拉伸（若压缩）与弯曲的组合变形。如图9-4（a）、（b）所示的矩形等截面石墩。它同时受到水平方向的土压力和竖直方向的自重作用。显然土压力会使它发生弯曲变形，而自重则会使它发生压缩变形。因石墩的横截面积A和惯性矩I都比较大，在受力后其变形很小，故可以忽略其压缩变形和弯曲变形间的相互影响，并根据叠加原理求得石墩任一截面上的应力。现研究距墩顶端的距离为x的任意截面上的应力。由于自重作用，在此截面上将引起均匀分布的压应力()NNxA由于土压力的作用，在同一截面上离中性轴Oz的距离为y的任一点处的弯曲应力为()qzMxyI根据叠加原理，在此截面上离中性轴的距离为y的点上的总应力为()()NqzNxMxyAI应用上式时注意将()Nx、()Mx、y的大小和正负号同时代入。石墩横截面上应力N、q和的分布情况一般如图10-9（c）、（d）、（e）所示。由于土压力和自重大小的不同，总应力的分布也可能有如图10-9（f）或（g）所示的情况。石墩的最大正应力max及最小正应力min，都发生在最大弯矩maxM及最大轴力maxN所在的截面上离中性轴最远处。故石墩的强度条件为材料力学教案maxmaxmaxzNMAW≤[]式中的maxzzIWy是石墩矩形横截面对z轴的抗弯截面模量。上面我们以石墩为例介绍了怎样计算杆在拉伸（或压缩）与弯曲组合变形情况下的应力。也可用同样方法求解其它有类似情况的问题。（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）N（）q()Oyz=+图9-4在自重和土压力作用下的石墩例题9-1有一三角形托架如图9-5（a）所示，杆AB为一工字钢。已知作用在点B处的集中荷载P=8kN，型钢的许用应力[]=100MPa，试选择杆AB的工字钢型号。解（1）计算杆AB的内力，并作内力图杆AB的受力图如图9-5（b）所示，由0AM，有0485.2Yc求得8.12YckN（↑）而tan3012.81.73222.17XcYckN作出杆AB的弯矩图和轴力图分别如图9-5（c）、（d）所示。材料力学教案（2）从内力图上可看出最大弯矩（绝对值）及最大轴力均发生在截面C上，分别为max12MkN·mmax22.17NkN（3）计算最大正应力根据叠加原理，杆AB在截面C上的最大拉应力为maxmaxmaxzNMAW3322.17101210zAW（a）式中的A为杆AB横截面的面积，zW为相应的抗弯截面模量。60°2.5m1.5mABPDC2.5m1.5mABPCXCYCyz12kN·m22.17kNM图N图（a）（b）（c）（d）图9-5例题9-1图（4）选择工字钢的型号因式（a）中的A和zW均为未知，故需采用试算法。首先选用18号工字钢，由附录II型钢表可查得A=30.8×102mm2，zW=185×103mm3，代入式（a）得材料力学教案33263922.1710121030.8101018510106101.72N/m21.72MPa＜[]100MPa强度是够的，但富余太多，不经济。改选16号工字钢，其A=26.1×102mm2，zW=141×103mm3，代入式（a）得336263922.1710121093.61026.110101411010N/m26.93MPa＜[]100MPa这样，就既能满足强度条件，用材又比较经济。确定选用16号工字钢。9.3斜弯曲9.3.1梁在斜弯曲情况下的应力如图9-6所示的悬臂梁，当在其自由端作用有一与截面纵向形心主轴成一夹角的集中荷载P时（为了便于说明，设外力P的作用线处在yOz坐标系的第一象限内），梁发生了斜弯曲。若要求在此悬臂梁中距固定端距离为x的任一截面上，坐标为（y,z）的任一点A处的应力，可按照如下步骤进行。将荷载P设y,z两个形心主轴方向进行分解，得到cosyPP和sinzPPyP和zP将分别使梁在xOy和xOz两个主惯性平面内发生平面弯曲，它们在任意截面上产生的弯矩为材料力学教案（a）（b）21图9-6在斜弯曲情况下的悬臂梁()()sinsin()()coscosyzzyMPlxPlxMMPlxPlxM（9-3-1）其中的M表示斜向荷载P在任意截面上产生的弯矩。点A处的正应力，可根据叠加原理求出sincosyzyzyzMzMyMMzyIIIIsincosyzMzyII（9-3-2）卡式是计算梁在斜弯曲情况下其横截面上正应力的一般公式，它适用于具有任意支承形式和在通过截面形心且垂直于梁轴的任意荷载作用下的梁。但在应用此公式时，要注意随着支承情况和荷载情况的不同，正确地根据弯矩M确定其分量sinyMM，coszMM的大小和正负号。对弯矩的正负号规定是：凡能使梁横截面上，在选定坐标系的第一象限内的各点产生拉应力的弯矩为正，反之为负。同样，荷载P使梁发生斜弯曲时，在梁横截面上所引起的剪应力，也可将由yP、zP分别引起的剪应力y和z进行叠加而求得。但应注意，因y与z的指材料力学教案向互相垂直，故叠加时是几何叠加，即22yz。9.3.2梁在斜弯曲情况下的强度条件在工程设计计算中，通常认为梁在斜弯曲情况下的强度仍是由最大正应力来控制。因横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远处，故要求得最大正应力，必须先确定中性轴的位置。由于在中性轴上的正应力为零，故可用将0代入式（9-3-2）的办法得到中性轴的方程并确定它在横截面上的位置。为此，设在中性轴上任一点的坐标为0y和0z，代入式（9-3-2），则有00sincos0yzMzyII或00sincos0yzzyII（9-3-3）式（9-3-3）就是中性轴（图9-6（b）中的nn）线的方程。不难看出，它是一条通过截面形心（00y，00z）且穿过二、四象限的直线，故在此直线上，除截面形心外，其它各点的坐标0y和0z的正负号一定相反。中性轴与z轴间的夹角（见图9-6（b））可用式（9-3-3）求出，即00tantanzyyIzI（9-3-4）在一般情况下，yzII，故，即中性轴不垂直于荷载作用平面。只有当0，90或yzII时，才有，中性轴才垂直于荷载作用平面。显面易见，0或90的情况就是平面弯曲情况，相应的中性轴就是z轴或y轴。对于矩形截面梁来说，zyII说明梁的横截面是正方形，而