材料力学教案-第7章-弯曲变形

第7章弯曲变形教学目的：在本章的学习中，要求掌握梁弯曲变形时的变形计算和刚度问题，掌握简单超静定梁的求解方法。教学重点：梁的挠曲线及其近似微分方程；计算梁变形的积分法；叠加法计算梁的变形；刚度条件及简单超静定梁的求解。教学难点：积分法和叠加法求梁的变形。教具：多媒体。教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。教学内容：梁的挠曲线及其近似微分方程；积分法求弯曲变形；叠加法求弯曲变形；简单超静定梁；提高梁弯曲刚度的措施。教学学时：6学时。教学提纲：7.1工程问题中的弯曲问题挠度和转角7.1.1工程问题中的弯曲问题1、实例①车床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非均匀磨损，产生噪声，降低寿命，影响加工精度。②吊车梁：变形过大会出现小车爬坡现象，引起振动。2、研究变形目的①建立刚度条件，解决刚度问题②建立变形协调条件，解决超静定问题7.1.2挠度和转角以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁的纵向对称面。①挠曲线：在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称为挠曲线。②挠度：梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。③挠曲线的方程式：w=f(x)④转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后垂直于挠曲线。故轴的夹角挠曲线的切线与轴的夹角挠曲线的法线与转角xy.2.1当很小时，xfdxdtgw（）⑤挠度w和转角θ是度量弯曲变形的两个基本量。⑥挠度与转角符号规定：在图示坐标中，挠度向上为正，逆时针的转角为正。以悬臂梁为例xfwxfdxdtgw（很小时）w称为挠度，称为转角。规定w向下为正，顺时针为正。挠度与转角是度量弯曲变形的两个基本量。有工程问题中，有时候限定最大挠度与最大转角不得超过规定的数值【W】和【θ】，这样就得到刚度条件。刚度条件如下：][][maxmax——ww如果变形超过规定数值，即使满足强度要求，也仍然认为构件已经失效。7.2挠曲线的近似微分方程1、挠曲线的曲率表示式：①纯弯曲：EIM1（a）②横力弯曲：对细长梁而言，细长梁l/h≥5，忽略剪力Fs的影响EIxMx1（b）③高等数学中对曲率的定义及表达式ssdddd1（a）转化为EIMsdd（c）在我们选定的坐标系内，若弯矩M为正，则挠曲线向下凸，（如图所示），随着弧长S的增加，θ也是增加的，即正增量sd对应的d也是正的，于是考虑符号后，式（c）可写成。yox00d2dx2002xd2dMMMMMMwwxyodρx()sddxEIMsdd（d）EIMxw22dd（e）此式为挠曲线的近似微分方程。7.3用积分法求弯曲变形1、挠曲线的近似微分方程EIMxw22dd对等直梁而言，EI为常量，于是上式可写成MxwEI22dd将挠曲线的近似微分方程积分一次得转角方程，再积分可得挠曲线方程：CxMxwEIdddDCxdxdxMEIw)(式中C、D为积分常数，可由边界条件及连续条件确定。xxxaoyaaooyy=0=c,=0=b,=0=a,=0xxx2、边界条件：在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的这类条件称为边界条件。qLAy3、连续条件：挠曲线是一条光滑连续的曲线，在挠曲线的任一点上有唯一确定的挠度和转角这就是连续条件。4、刚度条件：][][maxmax，ww例：已知q和l，求wmax、θmax。①列弯矩方程：221qxxM(0≤x＜l)②列微分方程及积分DCxqxEIwCqxEIEIwqxEIw43224161'21''③求积分常数边界条件：当x=l时，'w=θ=0，w=0361qlC481qlD④转角方程及挠度方程：4343381612416161'qlxqlqxEIwqlqxEIEIw⑤求θA,wA将x=0代入以上二式EIqlA63EIqlwA84例：内燃机的凸轮轴或齿轮轴计算简图，试求转角方程及挠度方程，wmax、θmax。CbBL2xaRAAxyRBF解：①求反力：lFaFlFbFRBRA,②列弯矩方程：（AC段）11xlFbM(0≤x1≤a)（CB段）axFxlFbM222(a≤x2≤l)③列微分方程及积分（AC段）（CB段）2223232222222'222''26622DXCaxFxlFbEIwCaxFxlFbEIwaxFxlFbEIw④求积分常数边界条件：当x1=0时，w1=0当x2=L时，w2=0连续条件：当x1=x2=a时，w11=w12，w1=w222216lblFbCCD1=D2=0⑤转角方程及挠度方程（AC段）1223112221'1636xlbxlFbEIwlbxlFbEIwba（CB段）2232322222222'2666622lblFbaxFxlFbEIwlblFbaxFxlFbEIwdc⑥最大挠度wmax，最大转角θmax最大转角θmax当x1=0时，EIlblFabA6当x2=L时，EIlalFabB6若a＞b，则AB,θmax＞θB若a＜b，则ABAmax最大挠度wmax当0dxdww时，w为极值，所以应首先确定θ为零的截面位置。若在式（a）中，令x1=a，可求得baEIlFabc3若a＞b，则θC为正值。可见从截面A到截面C转角由负变正，改变了符号，挠曲线既为光滑连续曲线，θ=0的截面必然在（AC）段。令式（a）等于零：30362202220blxlbxlFbx0即为挠度为最大值的截面横坐标。以x0代入式（b）的最大挠度3221max3901blEIlFbwwxx当F作用于中点时，即2,20lxlba，最大挠度发生在中点。EIFlwwxx483211max0极端情况，当F无限接近右支座时，b2l2，b2可以省略，于是EIFblwllx39577.032max0可见即是在这种极端情况下，最大挠度仍然发生在跨度中点附近，也就是最大挠度总在靠近跨度中点。所以可以用跨度中点的挠度近似代替最大挠度，因此，在式（b）中令21lx求出跨度中点挠度为：2243482blEIFbwl即是在极端情况下，b→0时EIFbllEIFbwl16348222⑦误差分析：用21w代替wmax所引起的误差%65.2maxmax2wwL⑧结论可见在简支梁中，只要挠曲线无拐点，总可用跨度中点的挠度代替最大挠度不会引起很大误差。7.4用叠加法求弯曲变形7.4.1积分法①优点：可以求得挠曲线的转角方程和挠曲线方程，因此可求任意截面的转角和挠度是最基本的方法。②缺点：积分法比较麻烦。7.4.2叠加法①在小变形，线弹性前提下（材料服从胡克定律），挠度与转角均与载荷成线性关系。因此，当梁上有多个载荷作用时，可以分别求出每一载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷共同作用时的变形，这就是弯曲变形的叠加法。②为了便于工程计算，把简单基本载荷作用下梁的挠曲线方程，最大挠度，最大转角计算公式编入手册，以便查用。例：已知EI，求θA,θB,wC。查表EIFlEIqlAABAq0xF=q()dFBA()xxdxxx例：已知EI，求θA,θB,wD,wD。查表EIMelEIFl例：已知EI，求θA,wA。查表alEIFawEIFaAA36222xlEIxxqwEIxxxqAA36222dddlxqxq·0以xxqd代替以上二式中的F，以x代替a，然后积分llLAEIlqxxEIlqxEIlxqEIxxxq03030030028222·dddlLAEIlqxxlxEIlqxxlEIxxqw0403002120113636dd7.5弯曲应变能在弯曲变形中，外力因位移而作的功W等于储存于梁内的应变能Vε。EllMMwVee2212对于横力弯曲，微段内：EldxxMdV2)(2积分得全梁的应变能：lEldxxMV2)(2在梁的各段内，若弯矩M分别由不同的函数表示，则应分段积分，然后求和。7.6简单超静定梁1、基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。2、求解方法：解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用静力平衡条件求其他约束反力。3、讲解教材例题（由于超静定问题在结构力学中将进一步学习，所以在本课程中将不深入再展开。因此，仅讲解教材例题）7.7提高梁弯曲刚度的措施1）选择合理的截面形状。2）改善结构形式，减少弯矩数值（改变支座形式、改变载荷类型）。3）采用超静定结构。主要内容小结：1、明确挠曲线、挠度和转角的概念。2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法。3、学会用变形比较法解简单超静定问题。