材料力学教案-第8章-应力状态分析和强度理论

第8章应力状态分析和强度理论教学目的：通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态应变能密度的计算；掌握常用的四种强度理论。教学重点：平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。教学难点：应力状态的概念，工程实际中从受力杆件中截面单元体并进行分析计算。教具：多媒体。教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。教学内容：应力状态的概念；斜截面上的应力；二向应力状态分析；广义胡克定律；复杂应力状态下的应变能密度和强度理论。教学学时：6学时。教学提纲：8.1应力状态的概述单向拉伸时斜截面上的应力一、为什么要研究一点的应力状态？本章与前几章在研究对象上的不同之处。回顾：内力图：NF、T、SF、M--一根（杆、轴、梁）强度计算一面（危险截面）一段—、—、maxmaxmaxmaxMFTFSN本章：应力状态—一点。简单回顾：拉压：强度条件：nnAFbsN扭转：强度条件：nnWTbsnmax弯曲：强度条件：nnbISFnnWMbszzxmaSxmabsxmamax我们可以对构件的某一横截面进行校核，到目前为止尚不能对截面内某一点（如上图中第4点）的应力情况进行校核，因此：为了对某些复杂受力构件中既存在σ又存在τ的点建立强度条件提供依据，为实验应力分析奠定基础，我们应对构件内的任意点进行应力状态分析。通过实验来研究和了解结构或构件中应力情况的方法，称为实验应力分析。二、什么叫一点的应力状态？通过某一点的所有截面上的应力情况，或者说构件内任一点沿不同方向的斜面上应力的变化规律，称为一点的应力状态。三、怎样研究一点的应力状态？在构件内取得单元体代替所研究的点：通过截面法研究单元体各个斜截面上的应力情况来研究一点的应力状态。1、单元体的概念：⑴正六面微体：边长为无穷小量，dx、dy、dz，故：⑵任意一对平行平面上的应力均相等；⑶各个面上的应力都均匀分布；⑷任意、相互平行方向的应变均相同。2、怎样取单元体⑴取单元体的原则：①尽量使三对面上的应力为已知（包括应力等于零）②先定横截面上的σ、τ，然后按τ互等定律确定其他面上的剪应力。一对横截面dx⑵取法一对纵截面（平行上、下面）dy一对纵截面（平行前、后面）dz1、根据构件的受力情况，绘应力单元体8.1.1单向拉伸时斜截面上的应力1、横截面上的正应力AF2、斜截面上的应力FFcosAAcoscosAFAFAFp2sin2sincossincoscos2app讨论：（1）、均为的函数，随斜截面的方向而变化。（2）当0°时，max、0，在横截面上。当45°时，2max、2当90°时，0，平行于轴线纵截面没有正应力和切应力。8.1.2应力状态概述1、应力状态的概念（1）一点的应力状态研究表明，构件内不同位置的点，一般情况下具有不同的应力，所以点的应力是该点坐标的函数。然而就一点来论，不同方位截面上的应力也不同，截面上的应力又随截面方位的不同而变化，是截面方位角x的函数。因此，所谓“一点的应力状态”就是指过一点各个方位截面上的“应力情况”。（2）单元体为了表示一点应力状态,一般是围绕该点取出一个三个方向尺寸均为无穷小的正六面体，简称为单元体。由于单元体是无限小的，因此可以认为：①单元体各面上应力是均匀的。②单元体相互平行的截面上应力相同，且同等于该点的平行面上的应力。（3）主应力、主平面、主单元体在物件内任一点总可以取出一个特殊的单元体，其3个相互垂直的面上都无切应力，这种切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。这样特殊的单元体称为主单元体。主单元体上3个主应力通常按代数值大小排列为321（4）应力状态分类三向应力状态二向应力状态复杂应力状态单向应力状态简单应力状态应力状态分类:8.2二向和三向应力状态实例1、单向应力状态：轴面拉伸或压缩，横力弯曲梁横截面上、下边缘点处。2、二向应力状态：薄壁压力容器的壁0xF04'2DpD4'pD0yF02·''pDll2''pD显然：21pD42pDp330或3、三向应力状态：车轮与轨道接触点的应力状态8.3二向应力状态分析（解析法）在二向应力状态下，已知通过一点的某一截面上的应力后，求通过这一点的其他截面上的应力，从而确定主应力和主平面。已知：yxyxyx,,,，求，。符号规定：正应力拉为正压为负；切应力顺为正，逆为负；α逆时针为负，顺不正。1、研究三棱柱单元的平衡0sinsindcossindcoscosdsincosdd0AAAAAFyyxxxyn整理上式得2sin2cos22xyxyx────────（1）0sinsindcossindsincosdcoscosdd0AAAAAFyxyxxyz2cos2sin2xyx────────────（2）上述二式：从数学上看上述两个方程式为参数方程，参变量为α；从力学上看，这两个方程称为一点的任意斜截面上的应力公式。xyz2、maxmin=在何处？该处τ=？令0dd，022cos2sin22xyx则：0)2cos2sin2(2xxy即0的面上有极值0这个面在何处？由0这个式子可得正应力极值所在面的方位：为区别于任意截面的α，令0式中的0，0也从x轴算起。方位：yxxtg220────────────────────（3）任意（为方便）令：120tg，则可以发现：①有两个根：（即正应力极植有两个面）：00452------005.22002252------005.112②具有极植的这两个面相差90°。即：在两个互相垂直的斜面上，其正应力或为极大值或为极小值。大小：将求得的0代入⑴式，得22maxmin)2(2xyxyx───────────────（4）显然：在切应力为零的平面上正应力极大值和极小值，即最大正应力和最小正应力，就是主应力。所在的平面为主平面。确定主平面：先比较σx和σy的代数值：（1）若σx≥σy，在两个α0中，则绝对值较小的一个确定σmax所在的主平面；（2）若σx＜σy，在两个α0中，则绝对值较大的一个确定σmax所在的主平面。3、maxmin=?在何处？该处σ=？令,0dd02sin22cos22xyx即：0)2sin2cos2(2xyx方位：xyxtg220────────────────────⑺将0代入(2)式,得:大小:22maxmin)2(xyx─────────────────⑻maxmin面上的正应力:2sin2cos2200xyxyx4、最大切应力和最小切应力所在平面与主平面的关系。yxxy22tan0xyyx22tan1102tan12tan故有42220101即最大切应力和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45°。8.3二向应力状态分析——解析法例1：一点处的平面应力状态如图所示。已知：求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）画出主应力单元体。MPa60xMPa,30xy,MPa40yyxxy30解：（1）斜面上的应力（2）主应力、主平面（3）主平面的方位因为σx＞σy：主应力σ1的方向，α0=15.5̊；主应力σ3的方向，α0=105.5̊。（4）主应力单元体2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02.92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(240602yxxyyx22)2(maxMPa3.682yxxyyx22)2(minMPa3.48yxxytg2206.04060605.1505.105905.150yxxy5.15138.4二向应力状态分析（图解法）8.4.1应力圆（0·Mohr圆）的由来任意斜截面上的应力计算公式2sin2cos22xyxyx─────────────（1）2cos2sin2xyx──────────────────（2）从数学上来看，这两个方程是个参数方程，参变量为2α，即)2(f若消去2sin和2cos，则一定能找到)(f的曲线方程0·Mohr作了这个工作：首先将⑴式改写，即将⑴式子等号右边的第一项移到等号左边，然后对等式两边平方；再对⑵式的两边平方；最后将两式相加，并利用12cos2sin22这一关系消去sin2α和cos2α而得：2222)2()2(xyxyx────────────（3）——这就是所求的曲线方程（应力圆的方程）从力学观点看：⑴已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元体任意斜截面α上的应力。⑵平面应力状态下任意斜截面α上的应力相互制约在圆周上变化。从以上的数学方程、力学观点分析，通常将此圆称为应力圆。由于0·Mohr首先运用数学原理将应力单元体任意斜截面上的应力用图来表示，因此又称0·Mohr圆。8.4.2应力圆的一般画法1、知道圆心和半径，直接画应力圆2、截取法⑴取坐标系σ，τ；⑵按比例量取：xOA；xyAD，由此得D点yOB；yxDB，得D点⑶连DD交σ轴于C；⑷以C为圆心，CD为半径作圆。—此圆即为所求的应力圆。从作圆的过程可以看到：应力圆上的点：D────即代表单元体上x面上的应力；D────即代表单元体上y面上的应力；显然，单元体上任意斜截面上的应力就制约在应力圆的圆周上（证明见教材），所以可利用应力圆求单元体上任一斜截面上的应力。8.4.3利用应力圆求单元体上任一斜截面上的应力四句话：点面相对应，首先找基准。转向要相同，夹角两倍整。例：求任意斜面上α上的应力，见图。E点的坐标就是所求的、值，即OF,EF,最后，根据应力圆上E点的坐标，标出该斜截面上应力方向（见单元体的方向）。8.4.4利用应力圆求单元体的主应力及方向最大正应力：22111max)2(2xyyxyxCAOCOA最小正应力：22112min)2(2xyyxyxCBOCOB主方向：yxxyyxxyCBDBtg22208.4.5利用应力圆求单元体的最大剪应力及方向最大剪应力：CDCG1max22)2(xyyx最小剪应力：2minCG22)2(xyyx方向：应力圆上A1与G1相差900，即在主应力单元体上主平面与max所在面相差450。需要注意的是：max面上还有0，其值：20yx