物理建模系列(六)-四类常见平抛运动模型

物理建模系列(六)四类常见平抛运动模型模型一水平地面上空h处的平抛运动由h＝12gt2知t＝2hg，即t由高度h决定．甲模型二半圆内的平抛运动(如图甲)由半径和几何关系制约时间t：h＝12gt2R±R2－h2＝v0t联立两方程可求t.模型三斜面上的平抛运动乙1．顺着斜面平抛(如图乙)方法：分解位移x＝v0ty＝12gt2tanθ＝yx可求得t＝2v0tanθg丙2．对着斜面平抛(如图丙)方法：分解速度vx＝v0vy＝gttanθ＝vyv0＝gtv0可求得t＝v0tanθg模型四对着竖直墙壁的平抛运动(如图丁)丁水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同．t＝dv0例1如图，从半径为R＝1m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4s小球落到半圆上．已知当地的重力加速度g＝10m/s2，则小球的初速度v0可能为()A．1m/sB．2m/sC.3m/sD．4m/s【解析】由于小球经0.4s落到半圆上，下落的高度h＝12gt2＝0.8m，位置可能有两处，如图所示．第一种可能：小球落在半圆左侧，v0t＝R－R2－h2＝0.4m，v0＝1m/s第二种可能：小球落在半圆右侧，v0t＝R＋R2－h2，v0＝4m/s，选项A、D正确．【答案】AD例2如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd.从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b点．若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的()A．b与c之间某一点B．c点C．c与d之间某一点D．d点【解析】如图所示，过b点做水平线be，由题意知小球第一次落在b点，第二次速度变为原来的2倍后，轨迹为Oc′，c′在c的正下方be线上，故轨迹与斜面的交点应在bc之间．据运动规律作图越直观，对解决问题越有利．【答案】A[高考真题]1.(2015·课标卷Ⅰ，18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是()A.L12g6h＜v＜L1g6hB.L14gh＜v＜4L21＋L22g6hC.L12g6h＜v＜124L21＋L22g6hD.L14gh＜v＜124L21＋L22g6h【解析】发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动．当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有：3h－h＝gt212①L12＝v1t1②联立①②得v1＝L14gh当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有124L21＋L22＝v2t2③3h＝12gt22④联立③④得v2＝124L21＋L22g6h所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为L14gh＜v＜124L21＋L22g6h，选项D正确．【答案】D2.(2016·上海卷，23)如图，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是位于竖直平面内以O为圆心的一段圆弧，OA与竖直方向的夹角为α.一小球以速度v0从桌面边缘P水平抛出，恰好从A点沿圆弧的切线方向进入凹槽．小球从P到A的运动时间为________；直线PA与竖直方向的夹角β＝________.【解析】据题意，小球从P点抛出后做平抛运动，小球运动到A点时将速度分解，有tanα＝vyvx＝gtv0，则小球运动到A点的时间为：t＝v0tanαg；从P点到A点的位移关系有：tanβ＝v0t12gt2＝2v0gt＝2tanα＝2cotα，所以PA与竖直方向的夹角为：β＝arctan(2cotα)．【答案】v0tanαgarctan(2cotα)3.(2014·江苏卷，6)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落．关于该实验，下列说法中正确的有()A．两球的质量应相等B．两球应同时落地C．应改变装置的高度，多次实验D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动【解析】小锤打击弹性金属片后，A球做平抛运动，B球做自由落体运动．A球在竖直方向上的运动情况与B球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地．实验时，需A、B两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论．本实验不能说明A球在水平方向上的运动性质，故选项B、C正确，选项A、D错误．【答案】BC[名校模拟]4．(2018·山东师大附中高三模拟)如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是()A．A、B的运动时间相同B．A、B沿x轴方向的位移相同C．A、B运动过程中的加速度大小相同D．A、B落地时速度大小相同【解析】设O点与水平面的高度差为h，由h＝12gt21，hsinθ＝12gsinθ·t22可得：t1＝2hg，t2＝2hgsin2θ，故t1＜t2，A错误；由x1＝v0t1，x2＝v0t2，可知，x1＜x2，B错误；由a1＝g，a2＝gsinθ可知，C错误；A落地的速度大小为vA＝v20＋gt12＝v20＋2gh，B落地的速度大小vB＝v20＋a2·t22＝v20＋2gh，所以vA＝vB，故D正确．【答案】D5．(2018·山东烟台高三上学期期中)如图所示，斜面倾角为θ，从斜面上的P点以v0的速度水平抛出一个小球，不计空气阻力，当地的重力加速度为g，若小球落到斜面上，则此过程中()A．小球飞行时间为2v0tanθgB．小球的水平位移为2v20tanθgC．小球下落的高度为2v20sinθgD．小球刚要落到斜面上时的速度方向可能与斜面垂直【解析】由x＝v0t，y＝12gt2，tanθ＝yx三式得t＝2v0tanθg，水平位移x＝2v20tanθg，小球下落高度y＝12gt2＝2v20tan2θg.小球落在斜面上，速度方向斜向右下方，不可能与斜面垂直．A、B正确．【答案】AB6．(2018·山东淄博一中高三上学期期中)如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为45°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则A、B到达C点的速度之比为()A．2∶1B．1∶1C.2∶5D．5∶22【解析】对于A球：x＝v1t，y＝12gt2，x＝y，t＝2v1g，vA＝v21＋v2y＝5v1；对于B球：v2＝vy＝g·t＝2v1，vB＝22v1，所以v1∶v2＝5∶22.【答案】D课时作业(十一)[基础小题练]1.(2018·山东临沂高三上学期期中)在一次投球游戏中，某同学调整好力度，将球水平抛向放在地面的小桶中，结果球飞到小桶的右方(如图所示)，不计空气阻力，则下次再投时，他可能作出的调整为()A．减小初速度，抛出点高度不变B．增大初速度，抛出点高度不变C．初速度大小不变，提高抛出点高度D．初速度大小不变，降低抛出点高度【解析】由x＝v0t，y＝12gt2，得x＝v02yg，球飞到小桶右方，说明水平位移偏大，可使高度不变，减小v0，或v0不变，降低高度，A、D正确．【答案】AD2．从同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球A和B，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力．要使两球在空中相遇，则必须()A．两球的初速度一样大B．B球初速度比A大C．同时抛出两球D．先抛出A球【解析】小球在竖直方向上做自由落体运动，由h＝12gt2，两小球从同一高度抛出在空中某处相遇，则两小球下落时间相同，故说明两小球从同一时刻抛出，C正确，D错误；由x＝v0t，A球的水平位移大，说明A的初速度大，A、B错误．【答案】C3.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4m，一小球以水平速度v飞出，g取10m/s2，欲打在第四台阶上，则v的取值范围是()A.6m/sv≤22m/sB．22m/sv≤3.5m/sC.2m/sv6m/sD．22m/sv6m/s【解析】根据平抛运动规律有：x＝vt，y＝12gt2，若打在第3台阶与第4台阶边沿，则根据几何关系有：vt＝12gt2，得v＝12gt，如果落到第四台阶上，有：3×0.412gt2≤4×0.4，代入v＝12gt，得6m/sv≤22m/s，A正确．【答案】A4．一带有乒乓球发射机的乒乓球台水平台面的长是宽的2倍，中间球网高h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，发射点的高度可调，发射机能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，不计空气阻力，当发射点距台面高度为3h且发射机正对右侧台面的外边角以速度v1发射时，乒乓球恰好击中边角，如图所示；当发射点距台面高度调为H且发射机正对右侧台面以速度v2发射时，乒乓球恰好能过球网且击中右侧台面边缘，则()A.Hh＝43，v1v2＝176B．Hh＝21，v1v2＝176C.Hh＝43，v1v2＝23D．Hh＝21，v1v2＝23【解析】设乒乓球台宽为L，乒乓球的运动是平抛运动，当以速度v1发射时，由平抛规律知3h＝12gt21，2L2＋L22＝v1t1，联立解得v1＝L217g6h；同理，当以速度v2发射时，H＝12gt22，2L＝v2t2，H－h＝12gt23，L＝v2t3，联立解得H＝43h，v2＝L3g2h，所以Hh＝43，v1v2＝176，A正确．【答案】A5．(2018·山东师大附中高三上学期二模)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为()A.3gR2B．33gR2C.3gR2D．3gR3【解析】画出小球在B点速度的分解矢量图．由图可知，tan60°＝v0gt，R(1＋cos60°)＝v0t，联立解得：v0＝33gR2，选项B正确．【答案】B6.如图所示，在距地面高为H＝45m处，有一小球A以初速度v0＝10m/s水平抛出，与此同时，在A的正下方有一物块B也以相同的初速度同方向滑出，B与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.4，A、B均可视为质点，空气阻力不计(取g＝10m/s2)．下列说法正确的是()A．小球A落地时间为3sB．物块B运动时间为3sC．物块B运动12.5m后停止D．A球落地时，A、B相距17.5m【解析】根据H＝12gt2得，t＝2Hg＝2×4510s＝3s，故A正确；物块B匀减速直线运动的加速度大小a＝μg＝0.4×10m/s2＝4m/s2，则B速度减为零的时间t0＝v0a＝104s＝2.5s，滑行的距离x＝v02t0＝102×2.5m＝12.5m，故B错误，C正确；A落地时，A的水平位移xA＝v0t＝10×3m＝30m，B的位移xB＝x＝12.5m，则A、B相距Δx＝(30－12.5)m＝17.5m，故D正确．【答案】ACD[创新导向练]7．休闲运动——通过“扔飞镖”考查平抛运动知识飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们日常休闲的必备活动．一般打飞镖的靶上共标有10环，第10环的半径最小．现有一靶的第10环的半径为1cm，第9环的半径为2cm……以此类推，若靶的半径为10cm，在进行飞镖训练时，当人离靶的距离为5m，将飞镖对准第10环中心以水平速度v投出，g＝10m/s2.则下列说法中正确的是()A．当v≥50m/s时，飞镖将射中第8环线以内B．当v＝50m/s时，飞镖将射中第6环线C．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v至少为502m/sD．若要击中靶子，飞镖的速度v至少为252m/s【解析】根据平抛运动规律可得，飞镖在空中飞行有：x＝vt，h＝12gt2，将第8环半径为3cm、第6环半径为5cm、第10环半径为1cm、靶的半径为10cm代入两式可知正确选项为B、D.【答案】B