第九章应力状态理论基础(讲稿)材料力学教案(顾志荣)

1第九章应力状态理论基础同济大学航空航天与力学学院顾志荣一、教学目标通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。二、教学内容1、应力状态的概念；2、平面应力状态分析--数解法3、平面应力状态分析—图解法4、三向应力状态下的最大应力；5、广义胡克定律•体应变；6、复杂应力状态的比能；7、梁的主应力•主应力迹线的概念。三、重点难点重点：1、平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。2、广义胡克定律及其应用。难点：1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应2力情况。2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。4、广义胡克定律及其应用。四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。五、计划学时6学时六、实施学时七、讲课提纲本章与前几章在研究对象上的不同之处。回顾：内力图：NF、nM、QF、M--一根（杆、轴、梁）强度计算一面（危险截面）一段—、—、maxmaxmaxmaxMFMFQnN本章：应力状态—一点。(一)应力状态的概念一、为什么要研究一点的应力状态？简单回顾：拉压：图9-1强度条件：nnAFbsN扭转：3图9-2强度条件：nnWMbsnnmax弯曲：图11-3强度条件：nnbISFnnWMbszzxmaQxmabszxmamax但，到目前为止尚不能对如第4点的应力情况进行校核，因此：1、为了对某些复杂受力构件中既存在σ又存在τ的点建立强度条件提供依据。2、为实验应力分析奠定基础通过实验来研究和了解结构或构件中应力情况的方法，称为实验应力分析。应力状态、应变状态在实验应力分析等方面的广泛应用：实验方案的制订：验证理论计算结果：复杂受力结构、构件的应力测试等等。4二、什么叫一点的应力状态？通过某一点的所有截面上的应力情况，或者说构件内任一点沿不同方向的斜面上应力的变化规律，称为一点的应力状态。三、怎样研究一点的应力状态？在构件内取得单元体代替所研究的点：通过截面法研究单元体各个斜截面上的应力情况来研究一点的应力状态。1、单元体的概念：⑴正六面微体：边长为无穷小量，dx、dy、dz，故：⑵任意一对平行平面上的应力均相等；⑶各个面上的应力都均匀分布；⑷任意、相互平行方向的应变均相同。2、怎样取单元体⑴取单元体的原则：①尽量使三对面上的应力为已知（包括应力等于零）②先定横截面上的σ、τ，然后按τ互等定律确定其他面上的剪应力。一对横截面dx⑵取法一对纵截面（平行上、下面）dy一对纵截面（平行前、后面）dz3、根据构件的受力情况，绘应力单元体例：受拉伸或压缩构件上的应力单元体受扭构件上的应力单元体弯曲构件上的应力单元体，等等5(二)平面应力状态分析——数解法一、斜截面上的应力(a)(b)图9-4已知：受力构件中的应力单元体求：任一斜截面上的应力、设：解：截面法：截出任一斜截面如下：6图9-51、α面上的应力0nF0sincoscossinyyxx∵静力平衡条件，不是应力平衡0nF:0sin)sin(cossin)(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxx整理上式得，2sin2cos22xyxyx──────────────⑴同理，0tF，得2cos2sin2xyx──────────────────⑵上述二式：从数学上看上述两个方程式为参数方程，参变量为α；从力学上看，这两个方程称为一点的任意斜截面上的应力公式。7图9-62、β面（α+90°）上的应力：若令β=90°+α，则)90(2sin)90(2cos2200900xyxyx2sin2cos22xyxyx──────────────⑶)90(2cos)90(2sin200090xyx2cos2sin2xyx─────────────────⑷3、α、β面上应力之间的关系：将式⑴+式⑶，可以看到：yx常量——即任意两个互相垂直面上的正应力之和是常数。从式⑵、⑷可以看到：——即剪应力互等定律将、、、表示在单元体上图9-78二、maxmin=在何处？该处τ=？令0dd，022cos2sin22xyx则：0)2cos2sin2(2xxy即0的面上有极值0这个面在何处？由0这个式子可得正应力极值所在面的方位：为区别于任意截面的α，令0式中的0，0也从x轴算起。方位：yxxtg220────────────────────⑸任意（为方便）令：120tg，则可以发现：①有两个根：（即正应力极植有两个面）：00452------005.22002252------005.112②具有极植的这两个面相差90°。即：在两个互相垂直的斜面上，其正应力或为极大值或为极小值。大小：将求得的0代入⑴式，得22maxmin)2(2xyxyx───────────────⑹显然，在maxmin的面上0三、maxmin=?在何处？该处σ=？令,0dd02sin22cos22xyx9即：0)2sin2cos2(2xyx方位：xyxtg220────────────────────⑺将0代入(2)式,得:大小:22maxmin)2(xyx─────────────────⑻maxmin面上的正应力:2sin2cos2200xyxyx四、主平面、主应力、主应力的排列主平面：单元体中只有正应力而没有剪应力的平面称为主平面。主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力。主应力的排列：1、2、3用代数值确定，排列为123五、应力状态的分类一个单元体上最多只能出现三对主应力，最少可以均为0。按主应力存在多少，应力状态分为：1、三向应力状态（三个主应力都不等于零）图9-8102、二向应力状态（两个主应力不等于零）图9-93、单向应力状态（只有一个主应力都不等于零）图9-10(三)平面应力状态分析——图解法一、应力圆（0·Mohr圆）的由来任意斜截面上的应力计算公式2sin2cos22xyxyx──────────────⑴2cos2sin2xyx──────────────────⑵从数学上来看，这两个方程是个参数方程，参变量为2α，即)2(f若消去2sin和2cos，则一定能找到)(f的曲线方程110·Mohr作了这个工作：首先将⑴式改写，即将⑴式子等号右边的第一项移到等号左边，然后对等式两边平方；再对⑵式的两边平方；最后将两式相加，并利用12cos2sin22这一关系消去sin2α和cos2α而得：2222)2()2(xyxyx──────────────⑼——这就是所求的曲线方程（应力圆的方程）由解析几何的原理可知，方程（x-a）2+y2=R2──────────────────────(a)这是一个圆心在（a、0），半径为R的圆的曲线方程。即图9-11对照(a)、⑼两式：x____________y____________a____________2yxR____________22)2(xyx12图9-12从力学观点看：⑴若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元体任意斜截面α上的应力。⑵平面应力状态下任意斜截面α上的应力相互制约在圆周上变化。从以上的数学方程、力学观点分析，通常将此圆称为应力圆。由于0·Mohr首先运用数学原理将应力单元体任意斜截面上的应力用图来表示，因此又称0·Mohr圆。2、应力圆的一般做法图9-1313⑴取坐标系σοτ；⑵按比例量取：xOB1；xxDB1由此得Dx点yOB2；yyDB2得Dy点⑶连yxDD交σ轴于C；⑷以C为圆心，xCD或yCD为半径作圆。—即为所求的应力圆。从作圆的过程可以看到：应力圆上的点：Dx────即代表单元体上X面上的应力；Dy────即代表单元体上Y面上的应力；显然，单元体上任意斜截面上的应力就制约在应力圆的圆周上，所以可利用应力圆求单元体上任一斜截面上的应力。3、利用应力圆求单元体上任一斜截面上的应力四句话：点面相对应，首先找基准。转向要相同，夹角两倍整。例：求任意斜面上α上的应力，见图9-13：E点的坐标就是所求的、值，即OF,EF,最后，根据应力圆上E点的坐标，标出该斜截面上应力方向（见单元体的方向）。4、利用应力圆求单元体的主应力及方向最大正应力：22111max)2(2xyxyxCAOCOA14最小正应力：22222min)2(2xyxyxCAOCOA主方向：yxxyxxxCBDBtg222110（式中负号∵假设为+，现从Dx→A1为，∴为-）5、利用应力圆求单元体的最大剪应力及方向最大剪应力：xCDCG1max22)2(xyx最小剪应力：2minCG22)2(xyx方向：应力圆上A1与G1相差900，即在主应力单元体上主平面与max所在面相差450。需要注意的是：max面上还有0，其值：210yxG分析讨论题：1、图示平面应力状态下的单元体及其应力圆，试在单元体上表示出相应于应力圆上的点1、2、3、4、5、6、7、8的截面位置及应力方向。15图9-14图9-152、图示一处在二向应力状态下的单元体及其应力圆。试在应力圆上用点表示0-1，0-2，0-3，0-4，0-5各截面的位置，并画出单元体斜面上的应力方向。16图9-16(四)三向应力状态一、三向应力状态的概念单向、双向应力状态是三向应力状态的特例。工程中三向应力状态的实例：例1：地层一定深度处所取的单元体，竖向受岩土体的自重压力；侧向受四周岩土的侧向压力。图9-1717例2：火车道轨上取一单元体例3：压力容器内壁取一单元体图9-18图9-192、三向应力圆⑴求与某个主应力平行的任意斜截面上的应力、：①求平行于3的任意斜截面上的应力、；显然、只与1、2有关图9-20②求平行于1的任意斜截面上的应力、；显然、只与2、3有关。18图9-21③求平行于2的任意斜截面上的应力、；显然、只与1、3有关。图9-22⑵求任意截面上的应力n、n；显然n、n与1、2、3都有关。图9-23193、一点处的最大应力：⑴最大正应力与最小正应力由1和3所作成的最大应力圆可见：1max────────────────────⑽3min⑵主剪应力与最大剪应力：由三向应力圆可知，在三向应力状态状态的单元体中，有三对主剪应力：2212,12323,22313,1最大剪应力)(2131axm──────────────────