第十一章组合变形(讲稿)材料力学教案(顾志荣)

1第十一章组合变形同济大学航空航天与力学学院顾志荣一、教学目标1、掌握组合变形的概念。2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。二、教学内容1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。7、简单介绍截面核心的概念和计算。三、重点难点重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。2难点：1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）；偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。五、计划学时5学时六、讲课提纲(一)斜弯曲引言：*何谓平面弯曲？梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲（或者说：梁的挠曲线是形心主惯性平面内的一条平面曲线）3**平面弯曲与斜弯曲的比较(a)(b)(c)项目平面弯曲斜弯曲受力特点pF平面与过y轴(形心主惯性轴)的纵平面重合pF平面过形心(这里也是弯心)但不与过y轴的纵平面重合。中性轴特点中性轴与pF平面垂直中性轴与pF平面不垂直变形特点挠曲平面与中性轴垂直，且在pF平面内。挠曲平面与中性轴垂直，但偏离pF平面内。***斜弯曲的定义图11-14梁的弯曲平面不与外力作用平面相重合的这种弯曲称为斜弯曲（或者说，梁的挠曲线不在外力作用平面内，通常把这种弯曲称为斜弯曲）。1、外力分析pF通过截面的形心O，（两对称轴的交点，该点既是形心，又是弯心），垂直杆轴x，但并不作用在形心主轴平面内，而与形心主轴有一个夹角。为了利用基本变形的应力计算公式，必须将此外力pF向两个形心主惯性平面分解，即平面内产生平面弯曲在—平面内产生平面弯曲在—xozFFxoyFFFppzppypsincos2、内力分析将pF力分解后，任意截面（l-x面）上的内力（不考虑QF）：)(xlFMPyZ)(xlFMPZy3、应力分析任意截面（l-x面）上任意点（C点）的正应力cZZMZcIyM'——（压应力）yyMycIzM''——（压应力）cMZc'Myc''ZZIyMyyIzM——（压应力）⑴正应力正、负号根据弯矩矢量引起的变形情况确定4、中性轴位置⑴中性轴方程5上述⑴式尚不能计算的值，因为中性轴的位置尚未确定∵中性轴上的应力=0，∴⑴式可以写成ZZIyM0yyIzM⑵⑵中性轴是一条通过截面形心的直线要使⑵式满足，必须y,z同时=0，可见中性轴是一条通过形心的直线。⑶中性轴位置的确定过形心可作无数垂直线，那么中性轴位置如何确定？令中性轴上任一点的坐标为oy、oz。（见图2），中性轴与Z轴的夹角为，根据⑵式写成下式：ZyyzooMMIIzytg⑶图11-2从⑶式可以讨论以下几点；即中性轴取决于：①载荷pF作用的位置，即随变化由任意截面（l-x面）上的弯矩矢量可见（见图3）sinMMycosMMZ6则⑶式为tgIIMMIItgyzyzcossin图11-3（l-x截面）②截面的形状和尺寸若yzII（过形心的轴都是主轴），则，中性轴与pF平面垂直，即为平面弯曲。若yzII，则，中性轴不与pF平面垂直，即为斜弯曲。5、任意截面（l-x面）上的最大正应力（见图1）yyzzaIZMIyMmaxmax——（拉应力）yyzzbIZMIyMmaxmax——（压应力）6、危险截面上危险点的正应力计算（见图1）⑴正应力：)(maxmaxmaxmaxmaxminyyzzABIZMIyM)(maxmaxyyzzWMWM⑵应力状态7图11-4⑶强度条件：yyzzWMWMmaxmaxmaxmin⑷或)sincos(maxmaxmaxmaxminZIyIMyz)sincos(maxyzWWM][)sin(cosmaxyzz'4副题：斜弯曲梁的变形计算仍以矩形截面的悬臂梁为例：图11-5(a)(b)81、解题思路及计算公式将pF力分解为两个在形心主惯性平面的分力pyF和pzF后（见图11-5，b），分别计算梁在平面弯曲下自由端处的挠度y和z：zpzpyyEIlFEIlF3cos333┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoy平面内的挠度ypypzzEIlFEIlF3sin333┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoz平面内的挠度2、总挠度及其方位自由端B点的总挠度是上述两个挠度的几何和，即⑴总挠度值计算：22zy⑵总挠度方位计算，即总挠度与y轴的夹角的计算。将z轴方向的挠度除以y轴方向的挠度，即可得：tgIIIIEIlFEIlFtgyzyzzpypyzcossin3cos3sin33(a)⑶确定总挠度方位：∵cosMMzsinMMy代入⑶式，即tgIIMMIIzytgyzyzoocossin(b)比较(a)、(b)两式，可见：中性轴与z轴的夹角=总挠度与y轴的夹角。即：斜弯曲时，总挠度发生垂直于中性轴的平面内。在前面已经分析过，在一般情况下，梁的两个形心主惯性矩并不相等，即yzII则，说明斜弯曲梁的变形（挠曲平面）不发生在外力作用平面9内。如果yzII，则，即为平面弯曲，例如正方形、圆形等截面。3、刚度条件ll例题11-1跨度为l=3m的矩形截面木桁条，受均布荷载q=800N/m作用，木桁条的容许应力[σ]=12MPa.容许挠度l=2001，材料的弹性模量E=MPa1093,试选择木桁条的截面尺寸，并作刚度校核。图11-6解：⑴先将q分解为mNqqmNqqzy/2.355'3426sin800sin/8.716'3426cos800cos⑵求mNlqMmNlqMzyyz6.3998/32.35584.8068/38.716822max22max⑶设截面的高宽比为5.1bh。则根据强度条件622maxmaxmax10126/6.3996/4.806hbbhWMWMyyzz解得,101275.3723663b36101275.37236bmhmb2221016.81044.55.11044.5取b=60mm，h=90mm⑷校核刚度104833105.3641209.006.012mbhIz4833101621206.009.012mbhIymmmy23023.0105.36410938438.7165894mmmz26026.01016210938432.3555894梁跨中的总挠度mmzy7.342623222220012004.21002.130007.34l刚度条件不满足，必须增大截面尺寸，然后再校核刚度。若b=80mm，h=120mm4831011521212.008.0mIz483105121208.012.0mIymmy29.710115210938438.7165894mmz13.81051210938432.3555894mm9.1013.829.722200120072.010036.030007.34l满足刚度条件，截面尺寸应取b=80mm，h=120mm11例题11-2简支梁由mmmmmm20200200的等边角钢制成，其截面几何性质为361006.322mWzo，361055.146mWyo（对于c点），481055.4554mIzo，481004.1180mIyo，试绘最大弯矩截面上的正应力分布图。图11-712解：mKNM254425maxmKNMMZoyo7.1745cos25maxmaxMPaIMWMyoyoZoZoA5.146105.91105510611004.1180107.171006.322107.17106166383633maxmaxMPaIMWMyoyoZoZoB5.36105.9110551061663maxmaxMPaWMyoyoC8.1201055.146107.1763max中性轴位置：8597.37.177.171004.11801055.455488ZoyoyozoMMIItg47.75(二)拉伸（压缩）与弯曲的组合变形结构受力情况如图所示：图11-8梁AB上除作用横向力外，还有轴向拉（压）力，则杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。131、内力分析图11-92、应力分析：杆件内有轴力FN、弯矩M产生正应力图11-103、强度条件][maxmaxZNWMAF144、纵横弯曲的概念图11-11⑴何谓纵横弯曲？pF、1pF共同作用，1pF在pF作用下产生的上引起的梁的附加弯矩1M1pF，这个附加弯矩1M又反过来增大梁的挠度，这时的杆件变形已不是荷载的线性函数。像这类变形通常称为纵横弯曲。⑵分两种情况讨论：EI较大，与截面尺寸比较显得很小，可不考虑附加弯矩的影响，用叠加法计算横截面上的应力。EI较小,较大，附加弯矩的影响不可能不考虑，内力与荷载不是线性函数关系。(三)偏心压缩1、偏心压缩的概念轴向压缩单向偏心压缩双向偏心压缩图11-12152、外力的简化与分解图11-133、内力zpyyypzzpNeFmMeFmMFF∴偏心压缩=轴向压缩+弯曲（FQ=0）4、应力计算⑴单向偏心压缩时的应力计算图11-1416结论：距荷载Fp较近的边缘总是压应力。⑵双向偏心压缩时的应力计算图11-15任意点（E）处的应力计算)1(zyyzpzypyzppzyyyNIyeAIzeAAFyIeFzIeFAFyIMzIMAF∵AIiyy,AIizz∴上式可写成)1(22zyyzpiyeizeAF──────任意点（E）处的应力计算式5、中性轴⑴中性轴方程由0)1(22zyyzpiyeizeAF得中性轴方程170122zoyyoziyeize（直线方程）式中：oz，oy代表中性轴上任一点的坐标。ze，ye代表偏心力Fp的作用点位置（坐标）。注意；形心00oozy不能满足中性轴方程，即中性轴不通过形心。由此可见，中性轴的特征之一：中性轴是一条不通过形心的直线。⑵中性轴位置的确定方法是