必修5等差数列概念和性质教案

课题：3.1等差数列【学习目标】1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。2.能力目标：培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力；在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。3.情感目标：通过对等差数列的研究培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。【重点难点】重点：等差数列的概念及通项公式。难点：（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。【教学内容】一、复习引入：1．回忆数列的定义，请举出一个具体的例子。表示数列有哪几种方法——列举法、通项公式、递推公式。我们这节课接着学习一类特殊的数列——等差数列。2．由生活中具体的数列实例引入（1）．国际奥运会早期，撑杆跳高的记录近似的由下表给出：年份1900190419081912高度（M）3.333.533.733.93你能看出这4次撑杆条跳世界记录组成的数列，它的各项之间有什么关系吗？（2）某剧场前10排的座位数分别是：48、46、44、42、40、38、36、34、32、30引导学生观察：数列①、②有何规律?引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列.（板书课题）二.教学内容1.等差数列的概念．如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。符号语言描述：数列}{na中，如果daann1或11nnnnaaaa，则}{na为等差数列。强调：①“从第二项起”满足条件；②公差d一定是由后项减前项所得；③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数”）；所以上面的2、3都是等差数列，他们的公差分别为0.20，-2。例1：判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d，如果不是，说明理由。1.3，5，7，……2.9，6，3，0，-3，……3.0，0，0，0，0，0，…….4.1，2，3，2，3，4，……；5.1，0，1，0，1，……2、等差中项：由三个数a,A,b三项组成一个等差数列，则A叫做是a与b的等差中项。即：baA2，则2baA例2：等差数列}{na的前三项依次为24,12,xxx，则它的第5项为：。变式训练2-1若2，a,b,c,9成等差数列，则c-a=。3、等差数列通项公式a2-a1=da3-a2=da4–a3=d……an–an-1=d将这（n-1）个等式左右两边分别相加，就可以得到an-a1=(n-1)d即an=a1+(n-1)d（Ⅰ）当n=1时，（Ⅰ）也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式（Ⅰ）都成立，因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。dndmdmadnaan)1()1()1()1(11dmnaamn)11(dmnaamn)(（Ⅱ）等差数列通项公式：dnaan)1(1或dmnaamn)(例3：在等差数列}{na中，105a，3112a。求naa,20例4：已知递增的等差数列}{na满足21a，6522aa，求通项公式na变式训练3-1：已知等差数列}{na中，11a，33a，求数列}{na的通项公式。变式训练3-2：已知}{na是一个公差大于0的等差数列，且满足5563aa，1672aa。求数列}{na的通项公式。4.等差数列的证明：①定义法：daann1；②构造法：根据所给的递推关系构造出等差数列，再利用等差数列定义证明。例5：已知数列}{na满足41a，),2(441Nnnaann，令21nnab。（1）求证：数列}{nb是等差数列；（2）求数列}{na的通项公式。变式训练4-1：已知数列}{na满足11a，且)(131Nnaaannn（1）求证：数列na1是等差数列；（2）求数列}{na的通项公式。5、等差数列的性质性质1：在等差数列}{na中，若),,,(,Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；若pnm2，则pnmaaa2。例6：等差数列}{na中，24)(2)(31310753aaaaa，求104aa的值。例7：等差数列}{na中，465aa，则)2222(log103212aaaa=。变式训练5-1：等差数列na中,12318192024,78aaaaaa,则此数列的20a=。变式训练5-2：在等差数列na中,若34567450aaaaa，则28aa的值等于。性质2：若}{na，}{nb是等差数列，则}{nac、}{nca、}{knnaa、),,}({Nqpcqbpann仍为等差数列。例8：若}{na是等差数列，则下列中仍为等差数列的个数是（）①}3{na②}{2na③}{1nnaa④}2{nanA.1B.2C.3D.4性质3：若}{na是公差为d的等差数列，则d＞0，数列}{na是递增数列；d＜0，数列}{na是递减数列；d=0，数列}{na是常数列。例9：下面是关于公差d＞0的等差数列}{na的四个命题，其中真命题为：（1）数列}{na为递增数列，（2）数列}{nna是递增数列（2）数列nan是递增数列，（4）数列}3{ndan是递增数列。性质4：等差数列的公差与直线的斜率关系：（1）一次函数bkxxf)()0(k的图像是一条直线，斜率1212)()(xxxfxfk)(21xx，当0k时，对于常数函数bxf)(上式仍然成立。（2）等差数列}{na的公差本质上是相应直线的斜率，如dmnaamn)(mnaadmn。性质5：（1）若}{na是公差为d的等差数列，则mdaaaakkmnnm),,(Nknm；（2）下标成等差数列，对应项数也成等差数列，即......,,,32kmkmkmmaaaa为等差数列。（3）项数相同的连续项的和仍为等差数列。三、基础训练1、若lg2,lg(21),lg(23)xx成等差数列，则x的值等于（）A.0B.2log5C.32D.0或322、在等差数列na中31140aa，则45678910aaaaaaa的值为（）A.84B.72C.60D.483、在等差数列}{na中，首项01a，公差0d，若7321aaaaak，则k=（）A.22B.23C.24D.254、已知等差数列}{na，且284aa，则)2(10626aaaa的值为（）。A.4B.6C.8D.105、等差数列}{na中，若1201210864aaaaa，则11931aa的值是（）A.14B.15C.16D.176、在等差数列}{na中，若102,aa是方程08122xx的根，那么6a的值是（）A.-12B.-6C.12D.67、已知等差数列}{na的公差0d，且132aa，则4231aaaa的值为（）A.65B.54C.43D.328、在数列}{na中，41,121aa，若na1为等差数列，则数列}{na的第10项为（）。A.221B.251C.281D.3119、【九章算术】“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为。10、已知在数列}{na中，01a，22a，且)2)(1(211naaannn（1）求证：数列}{1nnaa是等差数列。（2）求数列}{na的通项公式。四、高考真题或模拟题1、在等差数列}{na中，若2576543aaaaa，则82aa。（2015.广东高考）2、设等差数列}{na的公差为d，若数列}2{1naa为递减数列，则（）。（2014.辽宁高考）A.d＞0B.d＜0C.da1＞0D.da1＜03、在等差数列}{na中，21a，1053aa，则7a（）(2014.重庆高考)A.5B.8C.10D.144、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为。（2015.陕西高考）5、在等差数列}{na中，若)(642Nnnaann，则该数列的通项公式na。（2015.江苏扬州三模）6、等差数列}{na中，42a，1574aa，求数列}{na的通项公式。