华南理工大学大学物理第6章简谐振动教程

第二编机械振动机械波第六章机械振动前言：振动和波是物理中的重要领域：1）大量存在。（一般讲，小物体作急速振动；大物体振动较慢。）2）是宇宙两大运动之一无“序”运动；分子热运动、银河星系的运动；有序运动；有规序的运动。其中一类就是周期运动，振动就是一种周期运动。++--tuiqtP周期运动特点有周期和平衡位置：运动系统经过一周期时间以后又回到原来的状态；物体运动总是在一个特定位置附近往复进行。弹簧振子振荡电路心房室压强振动--描写某一系统状态的物理量在一定范围内作周期性变化，则这系统的运动称为振动。X§6--1简谐振动简谐振动：我们所要研究的x-t曲线，即位移－时间曲线是纯余弦曲线的振动，即余弦式振动。6－1－1、弹簧振子的振动：xt振子在弹性力和惯性两因素相互作用下在平衡位置附近往复运动。设振子m在某一位置x,由胡克定律和牛顿第二定律有：22fkxdxfmdt22dxkxdtm20km令2220dxxdt解此微分方程：cos()xAtA：振幅；：初相位。（由初始条件决定的待定常数。）6-1-2单摆mlmgf22daldt22sindmgmldt22sindmgmldt当角很小时，220dgdtl0cost微分方程的解为sinmg小球受的切向分力：小球受的切向加速度：根据牛顿第二定律单摆的小角摆动是简谐振动3、简谐振动的特点：（1）运动学特征：222dxaxdta与x恒成正比且反相cos()xAtx是t的余弦函数（2）动力学特征：fkx合外要证明一个运动是简谐振动，可以从是否满足下面三个方程之一为依据。fkxcosxAt2220dxxdtcos()xAtsin()sin()mdxvAtdtVt2cos()cos()mdvaAtdtat二、简谐振动中的位移、速度和加速度：1、A振幅mV速度振幅ma加速度振幅tx2、x-t曲线、v-t曲线和a-t曲线：vtattxav§6-2描述谐振动的三个物理量——周期、振幅、初相作简谐振动的物体，其运动状态每经过一个相同的时间T就重复一次，时间T就称为振动的周期。cos[()]cos(2)2tTtT振动学中把1秒内物体完成振动的次数称为频率。1T把秒内物体完成振动的次数称为角频率。22T26.2.2周期频率和角频率一个振动系统的周期、频率或圆频率决定于什么因素？弹簧振子：2/kmkTmk为弹簧的倔强系数m为质点质量由系统本身性质决定，称固有圆频率（或角频率）；T称固有周期。6.2.3相位：1、定义：cos()xAtsin()sin()mdxvAtdtVt2cos()cos()mdvaAtdtat相位（用角度表示）周期(用时间表示）T()t2、特点：（1）一定的周相对应一个确定的运动状态。（2）一定的运动状态对应一定的周相。（3）周相差表示了两作同周期振动物体在同一时刻运动状态的差异。同相：21()()0(2)ttn或两振动完全同步((21))n或反相：两振动步调完全相反超前：21()()tt落后：21()()tt0AXoXotxXo-AXo2/2/3tx2txtxtx)2/()0(AXo例（补）：判断以下说法是否正确？并说明理由。（1）质点作简谐振动时，从平衡位置运动到最远点需时1/4周期，因此走过该距离的一半需时1/8周期。（2）如下图所示，看来x(t)曲线似乎在v(t)曲线的前方，即x(t)的极大值处于邻近v(t)极大值的右侧，故说位移x比速度v领先/2（3）位移cos()xAt两次对t求导可得加速度2cos()aAt二者括号中()t是一样的，故说x与a同相。sin()vAt解（1）不对。因为简谐振动的速度不是常数，故经过相等距离所需时间不同。（2）不对。由x-t、v-t图比较x、v的位移时，应从t=0看起，如图所示，v的第一极大值在x的第一极大值左方，故，v比x领先/2（3）不对。比较两个量的位相时，应都写成余弦（或正弦）函数，并使前面的系数同号。与cos()xAt比较位相时，2cos()aAt应写成：2cos()aAt可看出a与x反相。若比较v与x的位相，v应写成：cos()2vAt则v比x领先/26.2.4振幅A、初位相的确定：振幅和初相的值是由初始条件决定的；初始条件：t=0时的初位移X0、初速度0v)cos(tAx)sin(tAv由：{00varctgx解之：22002vAx0sinvA{以t=0代入：0cosxA由振动的周期性，可知，只要研究一个周期内不同时刻的函数()t，即可知整个周期性运动，比用时间t描述方便、直接。6.3简谐振动的旋转矢量表示法：Ax确定振动方程的三个量：A、、质点P任意时刻位置由At、质点P在x轴上的投影作简谐振动：cos()xAt旋转矢量法优点：形象化，尤其是使相位和圆频率具体化用一匀速转动的矢量来研究简谐振动的方法称旋转矢量法。其中轨迹圆称为参考圆。用旋转矢量法确定初位相：txx0v0v3232x0v0v0v2323x0vx430v0v43求振动方程步骤：1、首先确定系统是作简谐振动。2、据简谐振动方程cos()xAt确定A、、即可。例补：一定滑轮的半径为R，质量为M，其上挂一轻绳绳的一端系一质量为m的物体，另一端与固定的轻弹簧相连，如图，设弹簧的倔强系数为k，绳与滑轮间无滑动，并忽略轴的摩擦力及空气阻力，现将物体从平衡位置拉下一微小距离，然后放手，从放手瞬间开始计时，并以平衡位置为坐标原点，OX向下为正向，求：（1）证明物体作简谐振动（2）写出振动方程0lRk1T1T2T2TmgaMRmk0l1xox解：选物体、定滑轮、弹簧组成振动系统，受力分析如图系统平衡时对物体：10mgT对定滑轮：120TRTR对弹簧：21Tkx（为系统平衡时弹簧伸长量）1x1mgkx当物体拉一微小距离，作振动，取任一时刻，有：11mgTmaTmgma12122aTRTRJTTJR21()Tkxx（为弹簧总伸长量）1xx联立方程求得：2222()0JkxmaRdxkxJdtmR即：222kkIMmmR令＝＝其中212JMR初始条件：0000,,0txlv时2200002vAxxl10cos()0xA0cos()2kxltMm振动方程：例补：已知一简谐振动的位移曲线如图，写出振动方程。xt0241解：由图知A=4。据0t时2Ax0v1t0x0v时作出旋转矢量图x0v0vA由图得初位相3振幅在1秒内转过了12得56所以振动方程：54cos()63xt【例6-3】一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数k=0.72N.m-1，物体的质量m=20g。1.把物体从平衡位置向右拉到x=0.05m处停下后再释放，求简谐运动方程；2.求物体从初位置运动到第一次经过2A3.如果物体在x=0.05m处时速度不等于零，而是具有向右的初速度0v=0.30m.s-1，求其运动方程。处时的速度；解(1)　Nmk06020720...050022020.xvxA000xvtg或0代入简谐运动方程tAxcos中，可得])0.6cos[()05.0(1tsmx2Ax欲求处的速度，需先求出物体从初位置运动到第一次抵达2A处的相位。因=0，所以tAxcos则353,212cos或tAAAxt(2)作相应的矢量图如图由图知物体由初位置Ax第一次运动到2Ax时的相位3t代入速度公式，可得1Asin0.26vtms负号表示速度的方向沿ox轴负方向，(3)因mx05.001030.0smv故振幅和初相分别为mvxA0707.022020100xvtg4341或由题意作出旋转矢量图.从图可知41则简谐运动方程为]4)0.6cos[()0707.0(1tsmx6.4简谐振子的能量：动能：222211sin()22kEmvmAt势能：22211cos()22kEkxkAt系统机械能：)(cos21)(sin2122222tkAtmA222121kxmvEEEpk2km22222121AkAmA结论由弹簧振子可推广到一切简谐振动！从简谐振动的机械能守恒推导建立简谐振动的微分方程：221122mvkxE求导0dvdxmvkxdtdt小结：（1）振动动能和振动势能均随时间作周期性变化，其数值在之间重复变化。如果振动的周期为T，则和变化的周期为T/2。（2）振动动能、振动势能的变化并不同步，动能最大时势能为零，势能最大时，动能为零。（3）振动的总能量保持不变。210~2kAkEpE22dvdxdxvdtdtdt0dvdxmvkxdtdt220dxkxdtm简谐振动的判据：fkx2220dxxdtcosxAt2211()(22dxmkxEdt恒量)例6.4两根相同弹簧(弹性系数为k,自然长度为0l)与小球m放在光滑水平面上作振幅为A的谐振动(弹簧另一端各固定在相距为连接后，02l的墙上)．当m运动到两墙的中点时，突然将一质量为0m的质点轻轻粘在m上(设粘上前0m的速度为零)．求粘上后振动系统的周期和振幅解：两个弹簧的等效弹簧的弹性系数为2k粘上前系统的圆频率mk20粘上后系统的圆频率mmk02振动系统的周期kmmT2220设粘上后，振动系统的振幅为A；取粘上时的瞬间为t=0则系统的初始位移00x对系统来说，其水平方向上动量守恒，有00vmmmv)(V是粘上前物体的速度00vA是粘上后的速度0000mmmAmmmvv00v2000002000000vvmAAxmmmAmmmAmmmmm通过谐振动的能量来求振幅粘上前，振动系统的能量220021)A2(21mvkE粘上后，新振动系统的能量2002)(21)2(21vmmAkE20vmmmvAAAkAkEE)()2(21)2(2102220220020vmmmvAAAkAkEE)()2(21)2(210222022002002)()()(mmmmmmvmmmv020mmm00AmmmA0mmmAA006.5.1同（振动）方向、同频率的两个谐振动的合成设两简谐振动均沿x轴进行，位移分别：111cos()xAt222cos()xAt1、三角函数法21xxx)cos()cos(2211tAtA)cos(tA6.5简谐振动的合成)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctgtx1x2xx结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后仍为同频率的谐振动2、旋转矢量法)cos(111tAx)cos(222tAxA1A2A1YX22x1xx11sinA22sinAA1A2A与角速度相同则A的量值不变。2221212212cos[()()]AAA