自动控制原理课后答案第3章

1第3章控制系统的时域分析【基本要求】1.掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2.掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3.掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4.掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5.正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。这里先引入时域分析法的基本概念。所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。由于系统的输出变量一般是时间t的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。3.1系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。下面先介绍常用的典型输入信号。3.1.1典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。控制系统中常用的典型输入信号有：单位阶跃信号、单位斜坡信号、单位加速度信号、单位脉冲信号和正弦信号。这些信号都是简单的时间函数，便于数学分析和实验研究。1.阶跃信号阶跃信号表示输入量的一个瞬间突变过程，它的数学表达式为0,0(),0trtRt≥(3-1)式中，R为常量(见图3-1(a))。R=1的阶跃信号称为单位阶跃信号，记作()1()rtt。2.斜坡信号斜坡信号表示由零值开始，以恒定速率R随时间作线性增长的信号，如图3-1(b)所示。它的数学表达式为00()0trtRtt≥(3-2)2由于这种函数的一阶导数为常量R，故斜坡函数又称为等速度函数。1R的斜坡函数为单位斜坡函数。3.加速度信号加速度信号是一种抛物线函数，它的数学表达式为200()102trtRtt≥(3-3)式中，R为常数。当1R时，2()/2rtt为单位加速度函数，如图3-1(c)所示。因为22ddrRt，所以抛物线函数代表匀加速度变化的信号，故加速度信号又称为等加速度信号。4.脉冲信号脉冲信号可视为一个持续时间极短的信号，它的数学表达式为()()rtRt(3-4)式中，R为脉冲函数的幅值，1R的脉冲函数称为单位理想脉冲函数，并用()t表示。如图3-1(d)所示，()t函数的定义为00()0()1ttttdt∞(3-5)显然，()t函数是一种理想脉冲信号，实际上它是不存在的。工程实践中常用实际脉冲近似地表示理想脉冲。如图3-1(e)所示，当远小于被控对象的时间常数时，这种单位窄脉冲信号常近似地当作()t函数来处理。00()10tttt和(3-6)式中，为脉冲宽度或脉冲持续时间，1为脉冲高度。它的积分面积为1()d1tt显然，当0时，实际脉冲()t的极限即为理想脉冲()t。5.正弦信号正弦信号的数学表达式为()sinrtAt(3-7)式中，A为正弦函数的幅值，为正弦函数的频率，如图3-1(f)所示。正弦函数主要用于线性控制系统的频率响应分析。3R()rtt()rtt()rttR()rtt()rtt1/()a()b()c()d()e()f()rtt图3-1典型输入信号实际应用中采用哪一种典型输入信号取决于系统常见的工作状态；同时，在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。这种处理方法在许多场合是可行的。表3-1给出了五种典型输入信号的时域表达式及其对应的复数域表达式（拉式变换）。表3-1典型输入信号及其拉氏变换0t1()tt0t212t0t()t0tsinAt0t1s21s31s122As在一般情况下，如果系统的实际输入信号大部分为一个突变的量，则应取阶跃信号为实验信号；如果系统的输入大多是随时间逐渐增加的信号，则选择斜坡信号为实验信号较为合适；如果系统的输入信号是一个瞬时冲击的函数，则显然脉冲信号为最佳选择。例如，水位调节系统以及工作状态突然改变或突然受到恒定输入作用的控制系统，都可以采用阶跃函数作为典型输入信号。而对于跟踪通信卫星的天线控制系统，斜坡函数是比较合适的典型输入。同一系统中，不同形式的输入信号所对应的输出响应是不同的，但对于线性控制系统来说，它们所表征的系统性能是一致的。通常以单位阶跃函数作为典型输入信号，则可在一个统一的基础上对各种控制系统的性能进行比较和研究。应当指出，有些控制系统的实际输入信号是变化无常的随机信号，例如定位雷达天线控制系统，其输入信号中既有运动目标的不规则信号，又包含有许多随机噪声分量，此时就不能用上述确定性的典型输入信号去代替实际输入信号，而必须采用随机过程理论进行处理。为了评价线性定常系统的时域响应性能，需要研究控制系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。3.1.2时域响应过程任何一个控制系统在典型信号作用下的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。动态过程是系统在典型信号作用下，系统从初始状态到最终状态的过程。根据系统结构和参数选择的情况，动态过程表现为衰减、发散和振荡等几种形式。一个可以正常工作的控制系统，其动态过程必须衰减，也就是说，系统必须是稳定的。一个系统的动态过程可以提供稳定信息、响应速度、阻尼情况等信息，这些都可以通过系统的动态性能来描述。稳态过程是系统在典型信号作用下，时间t趋于无穷时输出量的表现形式。稳态过程反4映系统输出量最终复现输入量的过程，它提供了稳态误差的信息，用系统的稳态性能来描述。由此可见，任何控制系统在典型信号作用下的性能指标都由描述动态过程的动态性能指标和反映稳态过程的稳态性能指标两部分组成。3.1.3性能指标1.稳态性能指标当响应时间大于调节时间时，系统进入稳态过程。稳态性能指标是表征控制系统准确性的性能指标，是一项重要的技术指标。通常用稳态下输出量的期望值与实际值之间的差来衡量，称为稳态误差。如果这个差是常数，则称为静态误差，简称静误差或静差。lim[()()]lim()ssttertctet(3-8)稳态误差是系统控制精度（准确性）或抗扰动能力的一种度量，将在本章控制系统的稳态误差一节详细讨论。2.动态性能指标一个稳定的控制系统除了稳态控制精度要满足一定的要求以外，对控制信号的响应过程也要满足一定的要求，这些要求表现为动态性能指标。动态性能指标是描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标。一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其他形式的函数作用下，其动态性能也是令人满意的。因此在大多数情况下，为了分析研究方便，最常采用的典型输入信号是单位阶跃函数，并在零初始条件下进行研究。也就是说，在施加输入信号之前，系统的输出量及其对时间的各阶导数均等于零。线性控制系统在零初始条件和单位阶跃信号输入下的响应过程曲线称为系统的单位阶跃响应曲线。一个典型的稳定控制系统的时域响应曲线如图3-2所示。()rt()st()pt(5%2%或）%（）()dtt()ct()c0.9()c0.5()c0.1()c0图3-2单位阶跃响应及动态性能指标(1)延迟时间dt：响应曲线第一次达到其稳态值一半所需的时间；(2)上升时间rt：响应曲线从零开始第一次上升到稳态值时所需的时间。对有些没有超调的响应，理论上到达其稳态值的时间为无穷大。因此，也将上升时间定义为响应曲线首次从稳态值的10%过渡到90%所需的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，响应速度越快；5(3)峰值时间pt：响应曲线从零开始上升到第一个极值(最大值)处时所需的时间；(4)调节时间st：响应曲线达到并保持在稳态值的2%或5%范围内并且不再跃出这个范围所需的最短时间，；(5)超调量σ%：对于图3-2所示的振荡性的响应过程，响应曲线第一次越过稳态值达到峰值时，越过部分的幅度与稳态值之比称为超调量，记作%，即max()%100%()ccc∞∞(3-9)式中()c∞表示响应曲线的稳态值，maxp()cct表示峰值。若系统输出响应单调变化，则无超调量。上述五个动态性能指标，基本上可以体现系统动态过程的特征。在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升时间、调节时间和超调量。通常用上升时间或峰值时间来评价系统的响应速度；用超调量评价系统的阻尼程度；而调节时间是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出，上述各动态指标之间是有联系的。因此对于一个系统没有必要列出所有动态指标。另一方面，正是由于这些指标存在联系，也不可能对各项指标都提出要求，因为这些要求之间可能会发生矛盾，以致在调整系统参数以改善系统的动态性能时，会发生顾此失彼的现象。一般情况下，分析一个控制系统主要从稳定性、稳态性能和动态性能三方面来考虑，这些性能的衡量标准及详细指标参数如图3-3所示。%图3-3控制系统时域响应的性能指标3.2一阶系统的时域响应凡是以一阶微分方程为数学模型的控制系统，称为一阶系统。一阶系统在工程应用中不乏其例，特别是有些高阶系统，常可用一阶系统的特性来近似表征。3.2.1一阶系统的数学模型和结构图如图3-4所示RC滤波电路是最常见的一阶系统，其微分方程为()()()dctRCctrtdt(3-10)RC()iut()out图3-4RC滤波电路6式中)(tc为电路输出电压0()ut，)(tr为电路输入电压()iut。令TRC，可得一阶系统一般表达式()()()dctTctrtdt式中T为时间常数，)(tc和)(tr分别是系统的输出、输入信号。在初始条件为零的条件下，一阶系统的闭环传递函数为()1()()1CssRsTs(3-11)系统的结构图如图3-5所示。()Es()Rs()Cs1Ts()Rs()Cs1(1)Ts图3-5一阶系统结构图3.2.2一阶系统的单位阶跃响应当系统的输入信号()1()rtt时，系统的输出响应()ct称为单位阶跃响应。由式(3-11)，可得111()()()11TCssRsTsssTs取()Cs的拉氏反变换，得一阶系统的单位阶跃响应为()1e(0)tTctt≥(3-12)由式(3-12)求得(0)0,()1cc∞以及响应过程是单调上升的指数曲线。一阶系统的单位阶跃响应如图3-6所示。()ctt图3-6一阶系统的单位阶跃响应曲线图3-6表明，一阶系统的单位阶跃响应具有下面的重要特点：(1)初始时间t=0时，系统具有最大的运动变化率1/T（即初始斜率），初始斜率特性是常用的确定一阶系统时间常数的方法之一。00()11tTttdctedtTT(2)可用时间常数T去度量系统输出量的数值。例如，当tT时，()0.632ct；而T分别等于2T，3T，4T时，()ct的数值将分别等于在终值的86.5%，95%和98.2%。根据这一特点，可用实验方法测定一阶系统的时间常数，或者判定系统是否属于一阶系统。7(