中国海洋大学实变函数期末试题1

中国海洋大学2010学年秋季学期期末考试试卷数学科学学院实变函数课程试题(A卷)共2页第1页注：第一题的答案请直接写在试卷上！一.填空、是非题（30分）1.若，则E是闭集;若，则A是可数集.2.设(0,1)(2,3){5}E，则导集'E，边界E，闭包E.3.无限的孤立集的基数为，1R上连续函数全体的基数为.4.设集列nA定义为210,nAn，2110,1nAn，则上限集limnnA，下限集limnnA.5.设sin,[0,1],()12,[0,1]\,xxQfxxxQ，则[0,1]()fxdx.6—10题为是非题，填“对”或“错”6.E是无限集的充要条件是E可以和自己的某个真子集对等.()7.任意多个零测集的并集还是零测集.()8.可测集nRE上的可积函数一定是E上几乎处处有限的函数.()9.若()0Efxdx，则()fx在E几乎处处等于零.()10.可测集的全体是一个-代数.（）授课教师命题教师或命题负责人签字赵元章2010年11月日院系负责人签字年月日优选专业年级学号姓名授课教师座号------------------------------------------------装装装------------------------------------------------订订订------------------------------------------------线线线------------------------------------------------数学科学学院实变函数课程试题(A卷)共2页第2页二.定理，定义及举例.（30分）1.（6分）陈述Fatou引理.2.（6分）陈述Lebesgue控制收敛性定理.3.(8分)举例说明由()fx可测导不出()fx可测.4.（10分）给出依测度收敛的定义，并列举一个依测度收敛的例子.三.证明题(40分)1.设()nfx，()fx是在集合E上定义的实函数，且nf单调增加，对任意的xE，有()(),()nfxfxn.证明1:()0:()0nnxEfxxEfx.2.证明：1R中以互不相交的开区间为元素的集合是至多可数集.3.设()fx是可测集1RE上几乎处处有限的函数，对任意的0，存在闭集FE，使\mEF且()fx在F上连续.证明()fx是E上的可测函数.4.设1RE是可测集且)(Em，)(xf是E上几乎处处有限的可测函数，证明对0，存在闭集EF使得)\(FEm且f在F上连续有界.5.设()fx是有界可测集E上处处有限的非负可测函数，[1]nEEnfn.证明()fx在E上可积的充要条件是1,nnnmE.