数学建模-2002年的彩票中的数学问题

第四篇彩票方案的合理性分析33第四篇彩票方案的合理性分析2002年B题彩票中的数学近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组9~0号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从4~0号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从9~0十个号码中任选6个（可重复）基本号码，从4~0中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表4-1（x表示未选中的号码）。表4-1传统数字型玩法中奖说明中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码+特别号码说明一等奖Abcdef+g选7中（6+1）二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdexxbcdef选7中（5）四等奖abcdxxxbcdexxxcdef选7中（4）五等奖abcxxxxbcdxxxxcdexxxxdef选7中（3）六等奖abxxxxxbcxxxxxcdxxxxxdexxxxxef选7中（2）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从33~01个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从33~01个号码中任选7个（不可重复）组成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从36~01个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从36~01个号码中任选7个（不可重复）组成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表4-2。表4-2乐透型玩法中奖说明中奖等级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中（7）●●●●●●★选7中（6+1）二等奖●●●●●●○★选7中（6+1）●●●●●●选7中（6）三等奖●●●●●●○选7中（6）●●●●●○★选7中（5+1）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）●●●●●○选7中（5）五等奖●●●●●○○选7中（5）●●●●○○★选7中（4+1）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）●●●●○○选7中（4）七等奖●●●●○○○选7中（4）●●●○○○★选7中（3+1）注：●为选中的基本号码；★为选中的特别号码；○为未选中的号码。以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表4-3，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例。全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析34⑴根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。⑵设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。⑶给报纸写一篇短文，供彩民参考。表4-3部分奖项方案和获奖比例序号奖项方案一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566+1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042无特别号246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030第四篇彩票方案的合理性分析35彩票方案的合理性分析*摘要：本文在对各种奖金设置方案的概率及各奖项单注奖金计算的基础上，选取一等奖单注奖金额、二等奖单注奖金额、一等奖获奖概率、二等奖获奖概率和中奖面五个主要因素，用层次分析法对29种方案的吸引力指标进行分析，又结合高项奖奖金总额和低项奖奖金总额之比值，对各种方案的合理性进行排序。在同一种玩法中取其中最好一种方案的前提下，排在前七位的依次是：第27种，第22种，第19种，第26种，第2种，第25种，第17种方案。在此基础上，通过对高项奖额比例进行模拟的方法设计出一种更好的方案如下：7/36一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖奖金五等奖奖金六等奖奖金中奖金额68%16%16%5005010最后，对彩票管理部门提出了建设性建议，对彩民提出了中肯的参考意见。并对模型的优缺点进行了分析。关键词：彩票；乐透型玩法；数字型玩法；模糊优化法；层次分析法；概率4.1问题的重述4.1.1彩票及其玩法近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，彩票分体育彩票和福利彩票两个部门。彩票是指国家为筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展而特许发行、依法销售，自然人自愿购买，并按照特定规则获得中奖机会的凭证。目前流行的彩票主要有“传统数字型”和“乐透型”两种类型。4.1.2彩票玩法简介1．传统型“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个（可重复）基本号码，从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表4-1。2．乐透型“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个（不可重复）组成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个（不可重复）组成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表4-2。以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表4-3，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底*本文获2002年全国二等奖。队员：魏丽红，孟祥龙，倪龙洵；指导教师：杨桂元。全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析36金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例4.1.3要解决的具体问题问题1：根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性；问题2：设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议；问题3：给报纸写一篇短文，供彩民参考。4.2模型的假设1．假设彩民是理性的，其购买彩票是为了追求中奖，且中奖额及中奖率越大越好；2．假设在计算“传统型”方案的概率中，表4-1中“X表示未选中的号码”含义为：除了符合表中列出的连号外，其他号码不能与此连成更高的奖项（如abcXXX表示只要第四位号码没有选中，五、六两位号码无论是否选中均表示未选中的号码，只能属于五等奖）。3．假设在计算表4-3中其他方案的概率时，无论是从多少中选5、6或7均与表4-2中给出的“乐透型”的33选7的规则一样；而除“传统型”之外无论是从多少中选6+1均与表4-2中给出的“乐透型”的36选6+1的规则一样。第23个方案的概率特殊处理。4．假设若一等奖单注奖金金额超过500万元时，则以500万元计算；而一旦低于60万元时，则以60万元计算。4.3符号的说明序号符号意义1S某期销售的彩票张数2C低项奖的奖金总额3Ri高项奖单注奖金额（i=1,2,3）4ri高项奖中第i等单项奖的比例（i=1,2,3）5i第i等奖的中奖率（7,6,5,4,3,2,1i）6i彩票的中奖面7jq第j种方案的吸引力指标值（29,,2,1j）4.4问题的分析为了分析各种方案的合理性，必须计算各种方案中各奖项的中奖概率与各奖项的单注奖奖额。4.4.1不同方案中各种奖项中奖的概率1．传统型（10选6+1）一等奖概率：2.01.061；二等奖概率：8.0)1.0(62；三等奖概率：29.0)1.0(53；四等奖概率：29.01.039.01.05244；五等奖概率：29.01.069.069.01.04.09.01.05224335；六等奖概率：69.01.0129.01.059.01.024334262．乐透型一（n选7）一等奖至七等奖的概率计算公式如下1=777nCC，2=767nCC，3=71867nnCCC，4=72857nnCCC，5=72857nnCCC，6=72847nnCCC，7=73847nnCCC第四篇彩票方案的合理性分析373．乐透型二（n选6+1）一等奖至七等奖的概率计算公式如下7661nCC，7717662nnCCC，717563nnCCC，727564nnCCC，727465nnCCC，737466nnCCC，737367nnCCC此外，40选6和60选5（第28、29种方案）各奖项的计算方法与乐透型一的计算方法相同。4.4.2中奖概率、中奖面和单注奖金额由此可以计算出29种方案各奖项的中奖概率和中奖面。然后，由计算公式：74)3,2,1()/(])5.02[(kkkiiiaSCiSrCSR算出各方案一、二、三等奖在概率意义下单注奖金额。4.4.3奖池流动、封顶和保底对于奖池流动与一等奖500万元封顶和60万元保底的问题，可理解为奖池积累的数量最终化为一等奖的奖金的多少，仍然是封顶与保底的问题。从概率意义上，长期销售大致上应该是持平的，当出现500万元封顶时不必增加支出；至于保底60万元，是当实际出现高项奖的概率远远大于其理论概率（超过4到5倍，如一等奖奖金240多万为例），这种概率非常小；另外，在彩票的销售收入中，有20%的销售收入除了用于彩票发行的各项开支，还可以建立风险基金，这部分风险基金可以用于弥补奖池积蓄太少同时又需要保底所带来的资金不足。在以下问题的讨论中，不再单独处理封顶资金的节余和保底资金的来源问题。4.