2018年秋高中数学-第三章-空间向量与立体几何阶段复习课

阶段复习课第三章空间向量与立体几何[核心速填]1．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共线向量定理的推论：若OA→，OB→，则P，A，B三点共线的充要条件是OP→＝λOA→＋μOB→，且.(3)共面向量定理：如果两个向量a，b，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使得.不共线不共线p＝xa＋ybλ＋μ＝1(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O和的三点A，B，C，则P，A，B，C四点共面的充要条件是OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中{a，b，c}叫做空间的一个．x＋y＋z＝1不共面p＝xa＋yb＋zc基底不共线2．空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．(1)a＋b＝()，a－b＝()，λa＝()，a·b＝.(2)重要结论：a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.a1b1＋a2b2＋a3b3a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3a1－b1，a2－b2，a3－b3λa1，λa2，λa33．模、夹角和距离公式(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①|a|＝a·a＝；②cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝.(2)设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB→|＝.a2－a12＋b2－b12＋c2－c12a21＋a22＋a23a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b234．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔，l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)⇔．a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)a1a2＋b1b2＋c1c2＝0(2)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.5．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cosθ＝.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝.|cos〈m，n〉||cos〈m1，m2〉|(3)求二面角的大小：(ⅰ)如图3­1①，AB，CD是二面角α­l­β的两个半平面α，β内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉．图31(ⅱ)如图3­1②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝．cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉[体系构建][题型探究]空间向量的基本概念及运算如图3­2，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：图32①SA→＋SB→＋SC→＋SD→＝0；②SA→＋SB→－SC→－SD→＝0；③SA→－SB→＋SC→－SD→＝0；④SA→·SB→＝SC→·SD→；⑤SA→·SC→＝0.其中正确结论的序号是________．[解析]容易推出SA→－SB→＋SC→－SD→＝BA→＋DC→＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA→·SB→＝2·2·cos∠ASB，SC→·SD→＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA→·SB→＝SC→·SD→，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[答案]③④[规律方法]1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影a·b|b|＝|a|·cosθ等．[跟踪训练]1.如图3­3，已知ABCD­A′B′C′D′是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的34分点，设MN→＝αAB→＋βAD→＋γAA′→，则α＋β＋γ＝________.图3332[连接BD，则M为BD的中点，MN→＝MB→＋BN→＝12DB→＋34BC′→＝12(DA→＋AB→)＋34(BC→＋CC′→)＝12(－AD→＋AB→)＋34(AD→＋AA′→)＝12AB→＋14AD→＋34AA′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]空间向量的坐标运算(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝12x－2a，则x＝()A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)(2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥C．①求向量a，b，c；②求a＋c与b＋c所成角的余弦值.【导学号：46342183】[解析](1)由b＝12x－2a得x＝4a＋2b，又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)，所以x＝(0,6，－20)．[答案]B(2)①∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，∴x1＝1y＝2－23＋y－2z＝0，解得x＝－1，y＝－1，z＝1，∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．②∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a＋c|＝22＋22＋32＝17，|b＋c|＝42＋02＋－12＝17，∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为a＋c·b＋c|a＋c||b＋c|＝517.[规律方法]熟记空间向量的坐标运算公式设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，(1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2).(2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(3)向量夹角：cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.(4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则|M1M2→|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.[跟踪训练]2．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形C[∵AB→＝(3,4，－8)，AC→＝(5,1，－7)，BC→＝(2，－3,1)，∴|AB→|＝32＋42＋－82＝89，|AC→|＝52＋12＋－72＝75，|BC→|＝22＋－32＋1＝14，∴|AC→|2＋|BC→|2＝|AB→|2，∴△ABC一定为直角三角形．]利用空间向量证明平行、垂直问题在四棱锥P­ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．[思路探究](1)证明向量BM→垂直于平面PAD的一个法向量即可；(2)假设存在点N，设出其坐标，利用MN→⊥BD→，MN→⊥PB→，列方程求其坐标即可．[解]以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1，1,1)，(1)证明：∵BM→＝(0,1,1)，平面PAD的一个法向量为n＝(1,0,0)，∴BM→·n＝0，即BM→⊥n，又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD．(2)BD→＝(－1,2,0)，PB→＝(1,0，－2)，假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD．设N(0，y，z)，则MN→＝(－1，y－1，z－1)，从而MN⊥BD，MN⊥PB，∴MN→·BD→＝0，MN→·PB→＝0，即1＋2y－1＝0，－1－2z－1＝0，∴y＝12，z＝12，∴N0，12，12，∴在平面PAD内存在一点N0，12，12，使MN⊥平面PBD．[规律方法]利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直．(3)线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(4)线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．[跟踪训练]3．如图3­4，长方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D．图34(1)求证：A1C⊥平面AMN.(2)当AB＝2，AD＝2，A1A＝3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN，若存在，试确定P的位置.【导学号：46342184】[解](1)证明：因为CB⊥平面AA1B1B，AM⊂平面AA1B1B，所以CB⊥AM，又因为AM⊥A1B，A1B∩CB＝B，所以AM⊥平面A1BC，所以A1C⊥AM，同理可证A1C⊥AN，又AM∩AN＝A，所以A1C⊥平面AMN.(2)以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，因为AB＝2，AD＝2，A1A＝3，所以C(0,0,0)，A1(2,2,3)，C1(0,0,3)，CA1→＝(2,2,3)，由(1)知CA1⊥平面AMN，故平面AMN的一个法向量为CA1→＝(2,2,3)．设线段AA1上存在一点P(2,2，t)，使得C1P∥平面AMN，则C1P→＝(2,2，t－3)，因为C1P∥平面AMN，所以C1P→·CA1→＝4＋4＋3t－9＝0，解得t＝13.所以P2，2，13，所以线段AA1上存在一点P2，2，13，使得C1P∥平面AMN.利用空间向量求空间角如图3­5，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图(2)所示的四棱锥A′­BCDE，其中A′O＝3.(1)(2)图35(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′­CD­B的平面角的余弦值．[思路探究](1)利用勾股定理可证A′O⊥OD，A′O⊥OE，从而证得A′O⊥平面BCDE；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．[解](1)证明：由题意，得OC＝3，AC＝32，AD＝22.如图，连接O