直线与方程-知识点总结-例题习题精讲-详细答案-提高训练

龙奇迹【学习资料网】宗旨：专心·精挑细选，用心·为您服务目标：高效复习快乐提分-1-课程星级：★★★★【知识点一：倾斜角与斜率】（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x轴相交；2、x轴正向；3、直线向上方向。②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00③倾斜角的范围000180（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.记作tank0(90)⑴当直线l与x轴平行或重合时,00,0tan00k⑵当直线l与x轴垂直时,090,k不存在.②经过两点1112212(,),(,)PxyPxyxx（）的直线的斜率公式是2121yykxx③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()yykxxxx求斜率；②已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据tank来求斜率；（4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy，若123ABBCxxxkk或，则有A、B、C三点共线。【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,ll，其斜率分别为12,kk，则有2121//kkll特别地，当直线12,ll的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,ll斜率存在，设为12,kk，则有1-2121kkll知能梳理龙奇迹【学习资料网】宗旨：专心·精挑细选，用心·为您服务目标：高效复习快乐提分-2-注：两条直线12,ll垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,ll中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12ll与互相垂直.【知识点三：直线的方程】（1）直线方程的几种形式需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..：龙奇迹【学习资料网】名称方程的形式已知条件局限性①点斜式11()yykxx11(,)xy为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线②斜截式ykxbk为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线③两点式112121yyxxyyxx11221212(,),(,)xyxyxxyy经过两点且(,)不包括垂直于x轴和y轴的直线④截距式1xyaba是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线⑤一般式0AxByC22(0)AB,,ABC为系数无限制，可表示任何位置的直线问题：过两点111222(,),(,)PxyPxy的直线是否一定可用两点式方程表示？【不一定】(1)若1212xxyy且，直线垂直于x轴,方程为1xx；(2)若1212xxyy且，直线垂直于y轴,方程为12yy；(3)若1212xxyy且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0ab，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”，可正可负。龙奇迹【学习资料网】宗旨：专心·精挑细选，用心·为您服务目标：高效复习快乐提分-3-截距式方程的应用①与坐标轴围成的三角形的周长为:|a|+|b|+22ab；②直线与坐标轴围成的三角形面积为:S=1||2ab；③直线在两坐标轴上的截距相等，则1k或直线过原点，常设此方程为xyaykx或（2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)PPxyxy若点的坐标分别是，1212122(,)2xxxPPMxyyyy且线段的中点的坐标为【知识点四直线的交点坐标与距离】（1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0lAxByC,2222:0lAxByC两条直线的交点坐标就是方程组11122200AxByCAxByC的解。①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.（2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)PxyPxy间的距离公式22122121||()()PPxxyy特别地，原点(0,0)O与任一点(,)Pxy的距离22||OPxy点到直线的距离：点00(,)oPxy到直线0AxByC的距离0022||AxByCdAB两条平行线间的距离：两条平行线1200AxByCAxByC与间的距离1222||CCdAB注:1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。龙奇迹【学习资料网】宗旨：专心·精挑细选，用心·为您服务目标：高效复习快乐提分-4-需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..：龙奇迹【学习资料网】【例】已知，，直线l过原点O且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）ABCD答案：B分析：由于直线l与线段AB有公共点，故直线l的斜率应介于OA，OB斜率之间．解：由题意，，，由于直线l与线段AB有公共点，所以直线l的斜率的取值范围是考点：本题主要考查直线的斜率公式，考查直线l与线段AB有公共点，应注意结合图象理解．【例】在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A1条B2条C3条D4条答案：B分析：由题意，A、B到直线距离是1和2，则以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条数即可．解：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求．考点：本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想【例】将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角为（）A30°B60°C120°D150°答案：A分析：结合图象，由题意知直线l1l3互相垂直，不难推出l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角．解：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=﹣1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..：龙奇迹【学习资料网】精讲精练龙奇迹【学习资料网】宗旨：专心·精挑细选，用心·为您服务目标：高效复习快乐提分-5-考点：本题考查直线与直线所成的角，涉及到角公式【例】方程1yx所表示的图形的面积为_________。答案：2解：方程1yx所表示的图形是一个正方形，其边长为2【例】设),0(为常数kkkba，则直线1byax恒过定点．答案：11(,)kk解：1byax变化为()1,()10,axkayaxyky对于任何aR都成立，则010xyky【例】一直线过点(3,4)M，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________．答案：4160xy，或390xy解：设444(3),0,3;0,34;33412ykxyxxykkkk2413110,31140,4,3kkkkkk或【例】已知A（1，2），B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y﹣1=0、设Pi是li（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是________答案：分析：设出P1，P2，P3，求出P1到A，B两点的距离和最小时，P1坐标，求出P2，P3的坐标，然后再解三角形的面积即可．解：设P1（0，b），P2（a，0），P3（x0，y0）由题设点P1到A，B两点的距离和为显然当b=3即P1（0，3）时，点P1到A，B两点的距离和最小，同理P2（2，0），P3（1，0），所以考点：本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题．龙奇迹【学习资料网】宗旨：专心·精挑细选，用心·为您服务目标：高效复习快乐提分-6-【例】已知直线（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a的范围是______答案：[2，+∞）分析：由已知中直线（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1不经过第二象限，我们分别讨论a﹣2=0（斜率不存在），a﹣2≠0（斜率存在）两种情况，讨论满足条件的实数a的取值，进而综合讨论结果，得到答案．解：若a﹣2=0，即a=2时，直线方程可化为x=，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a﹣2≠0，直线方程可化为y=x﹣，此时若直线不经过第二象限，则≥0，≥0，解得a＞0综上满足条件的实数a的范围是[2，+∞）考点：本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当k≥0且b≤0时，直线不过第二象限得到关于a的不等式组，是解答本题的关键，但解答时，易忽略对a﹣2=0（斜率不存在）时的讨论，而错解为（2，+∞）。【例】过点(5,4)A作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5。解：设直线为4(5),ykx交x轴于点4(5,0)k，交y轴于点(0,54)k，14165545,4025102Skkkk得22530160kk，或22550160kk解得2,5k或85k25100xy，或85200xy为所求。【例】直线313yx和x轴，y轴分别交于点,AB，在线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，如果在第一象限内有一点1(,)2Pm使得△ABP和△ABC的面积相等，求m的值。解：由已知可得直线//CPAB，设CP的方程为3,(1)3yxcc则133,32113cABc，333yx过1(,)2Pm得13533,232mm【例】已知点(1,1)A，(2,2)B，点P在直线xy21上，求22PBPA取得最小值时P点的坐标。解：设(2,)Ptt，则2222222(21)(1)(22)(2)101410PAPBtttttt当710t时，22PBPA取得最小值，即77(,)510P龙奇迹【学习资料网】宗旨：专心·精挑细选，用心·为您服务目标：高效复习快乐提分-7-【例】求函数22()2248fxxxxx的最小值。解：2222()(1)(01)(2)(02)fxxx可看作点(,0)x到点(1,1)和点(2,2)的距离之和，作点(1,1)关于x轴对称的点(1,1)22min()1310fx【例】在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．分析：根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标．逐步解答．解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∴kAB==1．又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，∴kAC=﹣1．∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴kBC=﹣2．∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）．由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，解得C（5，﹣6）考点：直线的点斜式方程。本题可