风险管理与精算第4章

第4章寿险精算现值精算现值（Actuarialpresentvalue）是保险赔付在投保时的期望现值，也就是趸缴纯保费（Netsinglepremium）。保险费又称为总保费或毛保费，可以分为净保费（纯保费）和附加保费。净保费是补偿保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分，附加保费是补偿保险公司因出售和管理保单发生的费用需要的缴费部分。本节考虑如下险种的精算现值：●终身寿险Wholelifeinsurance●定期寿险Termlifeinsurance●生存保险Pureendowmentinsurance●两全保险Endowmentinsurance●延期保险Deferredinsurance●变额保险Varyinginsurance4.1死亡年末赔付的人寿保险死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加1。记为岁投保人的整值剩余寿命，下面计算()Kxkx1.终身寿险对的1单位元死亡年末赔付终身寿险，其精算现值以表示。()xxAxA死亡年末1单位元赔付在投保时的现值随机变量为，它的期望就是其精算现值.因为所以1111001()xxkkxxxkkkkxAEZvqdvl1KvZxkkxxkqqpkKP)(●赔付现值随机变量的方差：22(1)2(1)00()kkxxkkkkEZvqeq相当于以计算趸缴净保费利息力的两倍计算的趸缴净保费。22)]([)()(ZEZEZVar2()EZ记有赔付现值随机变量的方差反映赔付现值随机变量的变动幅度，用于衡量保险公司承担的赔付风险程度。)(22ZEAx22)()(xxAAZVar2.定期寿险对(x)的1单位元死亡年末赔付n年定期寿险，其现值随机变量为精算现值以表示，有,1,,01,,2,1,0,1nnknkvZk1:xnA111:0()nkxkxnkAEZvq12122(1):012(1)0()nkxkxnknkxkkAEZvqvq2112::()()xnxnVarZAAZ的方差为其中例1:某40岁的人投保了5年10000元定期寿险，保险金在死亡年末给付，根据中国人寿保险业经验生命表（2000-2003）（男性表）计算趸缴纯保费（利率5%）。44114040140:35%004011.05kkkkkkdAvql例2:某人在50岁时购买了保险金额为10万元的终身寿险，假设生存函数为保险金在死亡年末给付，i=10%，求这一保单的精算现值。()1,105xsx注:在符号中，令n=1，即得，在人寿保险中又称为自然保费，它是根据每一保险年度、每一被保险人当年年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡纯保费，用符号cx表示，即11xxxxdcvqil1:xnA1:1xA3.两全保险：定期寿险与生存保险的合险。对(x)的1单位元n年两全保险，死亡年末1单位元赔付现值随机变量为1,0,1,2,,1,,1,knvknZvknn(x)的1单位元n年两全保险的精算现值为11:011::nknxnxkxnkxnxnAvqvpAA其中表示1单位元给付纯生存险的精算现值。1:xnA设Z为两全保险现值随机变量，Z1为n年定期现值随机变量，Z2为n年纯生存保险现值随机变量，则Z1和Z2不会同时发生，我们有121212()()()()2()()VarZVarZZVarZVarZEZEZ☆两全保险现值随机变量的方差22222222()()[()][]nnnxnxnnxnxVarZEZEZvpvpvpqZ2的方差为例3:设（35）投保5年两全保险，保险金额为1万元，保险金死亡年末给付，按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。1135:535:535:541535535041535400351()kkkkkkAAAvqvpvdvll4.延期m年终身寿险对(x)的1单位元死亡年末赔付m年延期终身寿险，现值随机变量为10,0,1,2,,1,,1,KKmZvKmm其精算现值以表示，有显然有xmA11()xkxxmkkmAEZvq1:xxmxmAAA5.延期m年的n年定期寿险延期m年的n年定期寿险是指从x+m岁起的n年定期寿险。对(x)的1单位元延期m年n年定期寿险，其赔付现值随机变量为1,,1,,1,,2,1,0,01nmmmKvmKZK其精算现值以或表示，有xnmA1111::()mnkxxmnkkmxmnxmAEZvqAA1:mxnA6.标准变额寿险如果保险契约规定的赔付数额随着死亡时间的变动而不同，这样的寿险称为变额寿险。如果赔付额，K是从投保开始到死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为标准递增的变额寿险。11KbKxx+1x+2…x+n-1x+n1111…1…11111……………标准递增的终身寿险1(1),0,1,2,KZKvK其精算现值以表示，有00100101)1()()(mxmmmkxkkkkmxkkkxkkxAqvqvqvkZEIAxIA)(标准递减的定期寿险xx+1x+2…x+n-1x+n1111…1…11111KnbK1以表示标准递减的定期寿险精算现值，有11111::00()()nnkxkxnxnkkkDAnkvqA1:()xnDA例：设计算。100,0100,0.05,xlxxi40()IA死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳终身寿险延期m年的n年定期寿险延期m年的终身寿险n年期两全保险11:::xxnxnnAAA1:xxmxmAAA111:::mxnxmnxmAAA111100xxkkxxkxxkkkkAvqvpq死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳延期m年的n年期两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险111:::::mmmxnxnxnxmxmnAAAAA111:10()kxkxxkjxjkjIAkvpqA1111::10()(1)nnkkxxkxnxnjkjDAnkvpqA例：计算保险金额为10000元的下列保单，在30岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生在保单年度末，利率为6%。（1）终身寿险（2）30年定期寿险（3）30年两全保险。例：现年35岁的人购买了一张终身寿险保单。该保单规定，被保险人在第1年内死亡，给付1000元，以后每年的死亡赔付额以6%的增长率递增。假设死亡给付发生在保单年度末，利率为6%。试求其趸缴纯保费。4.2死亡即付的人寿保险死亡即付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。死亡即刻赔付时刻是一个连续型随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。1.终身寿险对(x)的1单位元终身寿险，死亡即付现值随机变量为T的概率密度为，其精算现值为0,TvZT00()()ddttxTtxxtAEZvfttvptxAtxxtp直接被估计出来。但实际中，通常只有生命表注:面的积分进行变换。提供的整数年龄上的死亡概率，因此需要对上被保险人存活函数给出时该精算现值才能01010011100()ddddtxtxxtkttxxtkkskskxxskkkskxsxkxkskAEZvptvptvpsvpvps①在死亡均匀分布假设下，有11111000ddkssxkxxkxxkiAvpqvsAvsA,01sxkxksxkpqs②假设死亡集中发生在每个年龄的中间，这时死亡时赔付平均来说比死亡年末赔付早半年。复利计息时单利计息时1/2(1)xxAiA(1/2)xxAiA2222)()]([)()(xxAAZEZEZVar2220()dtxtxxtAEZeptZ的方差为其中例：设(x)投保终身寿险，保险金额为1元，保险金在死亡即刻赔付，利息力为0.03，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为计算(1)；(2)；(3)满足的。1,060(t)600,Ttf其它xA()VarZ0.9()0.9PZ0.9例：设(x)投保延期10年的终身寿险，保险金额为1万元，保险金在死亡时立即给付，利息力为，。试求（1）其精算现值;（2）；（3）中位数.0.04(),0xsxex0.0610xA()VarZ0.5解：已知0.04(),0xsxex0.060.041010100.1110()0.040.040.4tttxTtAeftdteedtedte0.060.04()0.040.04d[]()d()0.04()xttTxesxttftesxe（万元）2.定期寿险1单位元死亡即付n年定期寿险的精算现值为1:00()ddnnttTtxxtxnAvfttvpt①在死亡均匀分布假设下，有②假设死亡集中发生在每个年龄的中间复利计息时单利计息时11::xnxniAA11/21::(1)xnxnAiA11::(1/2)xnxnAiA例：设计算和.解：()1,0100,0.1100xSxxi130:10A()1()()100TSxtftSxx1013030:100010100()1.1111.10.0927070ln1.1tttAvftdtdt()VarZ3.两全保险1单位元死亡时赔付的精算现值11:::xnxnxnAAA在死亡均匀分布假设下，有11:::1::(1)xnxnxnxnxniAAAiAA例：某30岁的人投保了30年两全保险。如果契约规定在投保的前10年死亡赔付10000元，后20年死亡赔付30000元，满期存活给付20000元，假设赔付在死亡时发生，利率为6%。求这一保单的趸缴纯保费。例：设利息力和存活人数分别为求0.2,75,10.05txlxt14040:2040:20,,,xAAAA4.标准变额寿险对于死亡即时赔付的寿险，如果赔付额，称为标准递增的变额寿险。（1）标准递增终身寿险的精算现值为0()[1]dtxtxxtIAtvpt[1]tbt死亡均匀分布假设下，有▲如果赔付额标准连续递增，即，则()()xxiIAIAtbt0()dtxtxxtIAtvpt2,100,0100,txtlxx例：设计算()xIA（2）标准递增n年定期寿险的精算现值为在死亡均匀分布假设下，1:0()[1]dnttxxtxnIAtvpt11::()()xnxniIAIA（3）标准递减n年定期寿险的精算现值为死亡均匀分布假设下，为1:0()([])dnttxxtxnDAntvpt11::()()xnxniDADA例：对（50）岁的人第一年死亡即刻给付5000元，第二年死亡即刻给付4000元，以此按年递减5年期人寿保险，根据附表1生命表，以及死亡均匀分布假定，按年实质利率6%计算趸缴纯保费。11500.06500.061500.0641500501500.06((0.06(ln1.061.0297087(5)1000(kkkiDADADAdkvlDA：5：5：5：5）