《高等数学》-各章知识点总结——第9章

第9章多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续1、n维空间2R为二元数组),(yx的全体，称为二维空间。3R为三元数组),,(zyx的全体，称为三维空间。nR为n元数组),,,(21nxxx的全体，称为n维空间。n维空间中两点1212(,,,),(,,,)nnPxxxQyyy间的距离：2221122||()()()nnPQyxyxyx邻域:设0P是nR的一个点，是某一正数，与点0P距离小于的点P的全体称为点0P的邻域，记为),(0PU，即00(,){R|||}nUPPPP空心邻域:0P的邻域去掉中心点0P就成为0P的空心邻域,记为0(,)UP=0{0||}PPP。内点与边界点：设E为n维空间中的点集，nPR是一个点。如果存在点P的某个邻域),(PU，使得EPU),(，则称点P为集合E的内点。如果点P的任何邻域内都既有属于E的点又有不属于E的点，则称P为集合E的边界点,E的边界点的全体称为E的边界．聚点：设E为n维空间中的点集，nPR是一个点。如果点P的任何空心邻域内都包含E中的无穷多个点，则称P为集合E的聚点。开集与闭集:若点集E的点都是内点，则称E是开集。设点集nER,如果E的补集nER是开集，则称E为闭集。区域与闭区域：设D为开集，如果对于D内任意两点，都可以用D内的折线（其上的点都属于D）连接起来,则称开集D是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集:对于点集E，若存在0M，使得(,)EUOM，即E中所有点到原点的距离都不超过M，则称点集E为有界集，否则称为无界集．如果D是区域而且有界，则称D为有界区域．有界闭区域的直径：设D是nR中的有界闭区域，则称1212,()max{||}PPDdDPP为D的直径。二、多元函数n元函数就是nR的一个子集D到R的一个函数，即对任意的PD，都存在唯一的yR，使得()yfP。习惯上，我们用()yfx表示一元函数，用),(yxfz表示二元函数，用(,,)wfxyz表示三元函数.一般用(),RnyfPP或12(,,,)nyfxxx表示n元函数．三、多元函数的极限设多元函数)(Pfz在D有定义，0P是D的一个聚点，A为常数。如果对任意给定的0，都存在0，当00(,)PDPU时，有()fPA则称A为P趋于0P时函数)(Pfz在D上的极限，记为0PPlim(P)fA或0(P),(PP)fA。四、多元函数的连续性设多元函数)(Pfz在D有定义，0P是D的一个聚点。如果00PPlim(P)(P)ff，则称)(Pfz在0P点连续。如果)(Pfz在区域D上各点都连续，就称)(Pfz在D上连续．如果函数)(Pfz在点0P处不连续，则称函数)(Pfz在点0P处间断,也称0P是函数),(yxfz的间断点。五、偏导数设二元函数),(yxfz，),(000yxP为平面上一点。如果0(,)zfxy在0x的某一邻域内有定义且在0x点可导，即极限000000(,)(,)limlimxxfxxyfxyzxx存在,则称),(yxfz在点),(000yxP处对x可偏导，称此极限值为函数),(yxfz在点),(000yxP处对x的偏导数，记为000000(,)(,)(,),,xxyxyxyzfzxx或00(,)xfxy六、高阶偏导数2222xxzfffxxxx，22xyzfffxyxyyx，22yxzfffyxyxxy，2222yyzfffyyyy如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数,xyyxff都在平面区域D内连续，那么这两个二阶混合偏导数在D内相等。七、全微分设函数),(yxfz在点000(,)Pxy的某一邻域内有定义，,AB为常数。如果()zAxByo，其中22()()xy，则称函数),(yxfz在点000(,)Pxy可微分（简称可微），称AxBy为函数),(yxfz在点000(,)Pxy的全微分，记作dz，即dzAxBy可微的必要条件：函数),(yxfz在点000(,)Pxy可微,则(1)),(yxf在点000(,)Pxy处连续。(2)),(yxf在点000(,)Pxy处偏导数存在,且zd00(,)dxfxyx00(,)dyfxyy。可微的充分条件：函数),(yxfz在点000(,)Pxy的某个邻域内可偏导，且偏导数(,),(,)xyfxyfxy在点000(,)Pxy连续，则),(yxfz在点000(,)Pxy可微。八、多元复合函数的求导法则链式法则：),(vufz，),(),,(yxvvyxuu，zfufvxuxvx，yvvfyuufyz。一阶全微分的形式不变性：),(vufz，),(),,(yxvvyxuu,zzzzdzdxdydzdudvxyuv九、隐函数及其求导法若),(yxF满足：(1)),(yxF在),(00yx某邻域内可偏导,且(,),xFxy(,)yFxy连续，(2)00(,)0Fxy，(3)00(,)0yFxy。则(1)存在0x的某个邻域，在此邻域内存在唯一确定的一元函数)(xfy满足称函数)(xfy称为由方程0),(yxF所确定的隐函数，且)(xfy具有连续导数，(,)d()d(,)xyFxyyfxxFxy．若12(,,,,)nFxxxy满足：(1)),,,,(21yxxxFn在点),,,,(000201yxxxn的某个(n+1)维邻域内可偏导,且1121212(,,,,),,(,,,,),(,,,,)nxnxnynFxxxyFxxxyFxxxy连续。(2)000012(,,,,)0nFxxxy，(3)000012(,,,,)0ynFxxxy则(1)存在点),,,(00201nxxx的某个n维邻域,在此邻域内存在唯一的n元函数，且函数),,,(21nxxxfy在该邻域内具有连续偏导数,,iixxyFyF1,2,,in。十、空间曲线的切线与法平面空间曲线的参数方程为)()()(tzztyytxx，))(),(),((0000tztytxM为曲线上一点。如果000(),(),()xtytzt不全为0，则在点0M处的切线的方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx，在点0M处的法平面方程为：000000()'()()'()()'()0xxxtyyytzzzt。十一、空间曲面的切平面与法线曲面：0),,(zyxF在点处0M的法线方程为：000000()()()xyzxxyyzzFMFMFM在点处0M的法线方程为：000000()()()xyzxxyyzzFMFMFM十二、无条件极值极值存在的必要条件：函数),(yxfz在点),(000yxP处取得极值,且在该点处函数的偏导数都存在,则),(yxfz在),(000yxP点处的一阶偏导数为零,即0000(,)0,(,)0xyfxyfxy极值存在的充分条件：函数),(yxfz在点),(000yxP的某邻域内有一阶及二阶连续偏导数，且0000(,)(,)0xyfxyfxy。令00(,)xxfxyA，00(,)xyfxyB，00(,)yyfxyC，则(1)当02BAC时，00(,)fxy是函数),(yxfz的极值，其中当0A时00(,)fxy为极大值，当0A时00(,)fxy为极小值。(2)当02BAC时，00(,)fxy不是极值。十三、条件极值函数),(yxfz（称为目标函数）在条件(,)0,1,2,,ixyik下极值问题转化为求辅助函数11(,,,,)(,)(,)kkiiiLxyfxyxy的无条件极值的问题。