概率及概率密度分布函数解读

第1章概率及概率密度分布函数系统状态宏观量系统状态微观量统计方法最基础的概念概率§1.1概率的基本概念统计规律性随机现象与随机事件随机事件发生的可能性概率的定义概率的基本性质概率的简单计算1.1.1随机现象与随机事件确定性事件:可以被预言的事情.例如，做简谐振动的单摆，只要知道其固有频率及初始条件，我们就能计算出摆球在任何时刻的位置和速度。随机现象:只能确定影响它们演化的一部分因素，还有一部分因素是无法确定，或无法控制的，所以，现象发展的结局不是唯一的，到底如何，事先不能预言。例如，容器中的气体，尽管我们可以控制容器的容积、气体的压强、乃至其温度，但我们无法控制气体分子在热运动中怎样和其他分子、又怎样和容器壁去碰撞，因而无从预言各个分子每一时刻的空间位置与速度，我们说，气体中一个分子所在的空间位置及其运动状态如何，是一种随机现象。随机事件:在一定条件下，一个随机现象可以出现的多种结果中的每一个，就叫做一个随机事件。对随机现象进行实验观测，在单次实验中所出现的不能再“分解”的事件，叫做基本随机事件。例如掷骰子可能出现不同点数这一随机现象，在单次实验中分别出现1点、2点、3点、4点、5点、6点，就是它的六个基本随机事件。一随机现象的所有基本随机事件构成一基本事件组.掷骰子的基本事件组就由上述六个基本事件而组成。复杂随机事件:某一随机事件B是由随机事件A1、A2、...、Am所构成，即:当且仅当这m个事件中有一个发生时，事件B才发生。这样的随机事件B就属于复杂随机事件了。还以掷骰子为例，我们可以取“掷出的点数等于或大于5”为一随机事件，记为B。显然，不论掷出的点数是5还是6，都算做事件B发生了。我们称B事件是由“掷出的点数为5”这一基本随机事件与另一“掷出的点数为6”的基本随机事件而构成的.这时,随机事件B就属于复杂随机事件了.基本随机事件组内的事件具有互不相容性:在单次实验中,若上述事件B发生了，也就是A1、A2...、Am中的任何一个发生了，而A1、A2...、Am中的任两个事件绝不可能在单次实验中同时发生，我们称它们是互不相容的。基本随机事件组内的事件都是互不相容的。一般地，凡不可能在单次实验中同时发生的两个随机事件，就是互不相容的随机事件。两个随机事件具有各自独立性:有时，对于选定的随机事件A与B，其中之一是否发生并不受另一个是否发生所影响，则称A与B是互相独立的。例如，同时掷两只骰子，其一是否出现5点与另一个是否出现3点毫无联系，两骰子分别出现5点与3点这两个随机事件尽管可以同时发生，却互相独立。即便拿一只骰子来说，“这次投掷是否出现5点”与“下次投掷是否出现3点”也是不相干的，尽管是两次相继的投掷，这两个随机事件仍是各自独立的。再以我们在本课程中将特别关注的气体分子的速度为例，一分子速度的X分量介于怎样的大小区间与它的Y分量介于怎样的大小区间，Z分量又介于怎样的大小区间，是互相独立的。随机现象基本随机事件基本事件组复杂随机事件……A1A2AnAm-1Am1.1.2统计规律性演示实验对大量随机事件的整体有统计规律可循.伽尔顿板实验:如图,一个带有玻璃面板的大盒内用竖直隔板分成许多等宽的小格，另有一斜放着的、底板面钉有许多小铁钉的木槽，其开口处与大盒口的一边相接。常叫这种装置为伽尔顿板。伽尔顿板令小球从钉板上方滚下，它要与板上铁钉进行无规则的碰撞，在下滚途中受力的复杂细节是失去人为控制的，尤其在把不止一个小球乃至大量小球同时或连续沿钉板撒下时，我们不可能一一控制它们落下的初始状态，而且它们除与铁钉碰撞还要彼此碰撞，更使得每个小球的运动呈现随机状态。尽管各个小球的运动都遵从牛顿力学定律，但它们离开钉槽时的速度无论在大小还是方向上都具有偶然性，以致，就单个小球来说，它滚下后究竟会落在大木盒中的哪一个格子里，是不能预知的。一.现保持木槽的倾斜度不变，先把少量小球从钉板上撒下，它们将滚落在盒中各格里而有一分布。以尽量相同的方式将同样数量的小球再撒下一次，又一次，…，发现：每次小球在各格中的分布是有明显差异的。二.现改撒大量小球，盒中各格里接到小球的数目是不相等的，越靠两边格里的小球数目越少，中间有一格中落入小球数目最多。究竟是哪一格中最多这与木槽的倾斜度有关。用同样多的小球再撒一次，按上面所说单个小球运动轨迹不可控制，以致落入盒中哪一格完全具有偶然性来推想，或许仍会象少量小球撒下时那样，出现明显不同于前次的分布。但事实上，只要木槽倾斜度固定，球的数目足够多，且总数保持不变，撒球的方式也尽量相同，那么多次实验得出的结果彼此都非常接近。伽尔顿板实验结论:大数量小球落在大盒各格中的分布不再具有偶然性，它说明，在一定条件下，对大量随机事件的整体而言，具有较稳定的特性，是有必然规律可循的，这就是统计规律性。统计规律性包容着单个随机事件的偶然性:试将大量小球中的一只染成与众不同的颜色，在多次实验得到各格小球数有稳定分布的同时，这只可被识别的染色小球出现在哪一格中却完全没有一定。统计规律性一定伴随有所谓“涨落”现象。在伽尔顿板实验中，如果我们每次都逐格清点落入的小球数目，并做下记录，就会发现，每次实验中球数的实际分布与经极多次实验后统计算得的平均分布是有偏差的。这就叫做“涨落”，而且用来投撒的小球总数较少时，这种“涨落”现象就很明显。大量随机事件所必然遵从的统计规律性是依存于个别随机事件的偶然性的，涨落现象与统计规律性相伴正表明了偶然性与必然性之间的辩证关系。1.1.3随机事件发生的可能性----概率的定义:概率是统计规律中最基本的概念。概率----给出一随机事件发生的可能性有多大。在确定的条件下，对随机现象进行足够多次的观测实验，将看到该现象中各种可能的随机事件。设实验的总次数为N，其中，事件A出现的次数为NA，定义为事件A出现的频数。这频数会依N不同有所变化；但随着N的增大，由于偶然因素所起的作用相对降低，随机现象本身的固有特性变得明显，以致vA会稳定在某一值附近而只有越来越小的起伏。当N较大时，频数趋于一极限：PA就叫事件A出现的概率。显然，概率反映了随机事件出现的可能性，PA越大，事件A出现的可能性就越大。AANNlimNPAA1.1.4概率的基本性质1.任意一事件的概率PA,必有0≤PA≤1.PA=1意味着A事件在给定的条件下一定发生,是必然事件；PA=0则是A事件在给定的条件下根本不可能发生，这是不可能事件。2.加法定理设A1、A2为两互不相容事件，若A1或者A2出现时都可认为事件A已出现，称A为A1与A2的“或”(或称为“和”).表示为:A=A1+A2或A=A1∪A2。则有:PA=PA1+PA2式中PA、PA1和PA2分别为出现A、单独出现A1和单独出现A2的概率。若A为若干个互不相容随机事件的“或”:A=A1∪A2∪…∪An则:PPAAini13.基本随机事件组中各事件的概率归一.(概率的归一化条件)若A1至An构成一随机基本事件组,亦即包含了某随机现象所有可能独立出现的全部基本随机事件,那么A便是必然事件:PPAAini114.乘法定理设A、B两事件是相容的，把A、B都发生的事件称之为C，换句话说，C是在A和B都出现时方才实现的事件，简单地称C是A和B的“交”(也称为“积”).表示为:C=AB或C=A∩B则有:PC=P(A∩B)=PA·P(B|A)其中,PA是A事件发生的概率;P(B|A)是在A发生的前提下B事件出现的概率，叫“条件概率”.当A、B两事件是互相独立的，即B出现的概率跟是不是附加上A出现这一条件无关，反之亦然,则有：P(B|A)=PB;P(A|B)=PA.此时,PC=P(A∩B)=PA·PB两相容的独立事件都出现的概率，等于两独立事件单独出现的概率之乘积，这叫做乘法定理。推广到计算多个相容的独立事件都出现的概率：PPAAAPPPCnAAA12n()121.1.5概率的简单计算一.古典式随机现象的概率的简单计算:古典式随机现象要满足以下两个条件：(1)该随机现象的基本随机事件组的事件数目有限；(2)每一基本随机事件发生的概率相等。例一:掷一只匀质、形状规则的骰子，它有六个对称的面，掷出去究竟出现的点数是几，有六种等概率的可能，这是一个古典式随机现象。例二:容器内有N个气体分子，若以一假想截面将容器分为容积相等的A、B两部分，每个分子都可自由往来于A、B之间，倘视N个分子是可以彼此区分的，但又各自独立地以同样方式热运动着，那么这些气体分子在A、B两部分中的分布共有种可能，而且每种分布出现的概率都相等。这又是一个古典式随机现象。设一古典式随机现象的基本随机事件组中含有n个基本事件，那么依古典式随机现象应满足的条件，易得每一基本事件发生的概率:--(1.1.8)如果该随机现象的某个复杂随机事件c是由m个基本事件复合而成的，则c的概率:--(1.1.9)在具体计算中，必须先适当地定义基本事件组，并由(1.1.8)和(1.1.9)式可见，关键是计算n和m，这需要用到数学中有关排列、组合的公式。P1nPcmn§1.2随机变量与概率分布随机变量离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度分布函数1.2.1随机变量为了讨论随机事件与相应概率之间的关系，首先要把随机事件数值化，于是，引进随机变量.定义:把在确定条件下的随机现象中的每一个随机事件w都唯一地与一个实数值X(w)相对应，则称实数值变量X(w)为一个随机变量。[例1-2-1]设盒中有3个白球，两个黑球，从中随便摸取3个球。考查:在摸取的3个球中黑球的数目。现给这5个球编号，(1)、(2)、(3)号为白球，(4)、(5)号为黑球。则“摸取3个球”的可能结果w有十种，见表1.2.1第一列，给出了十种可能里各自摸到的三球的编号。设随机变量X(w)为每种可能情形下摸到黑球的数目，其值也列于表1.2.1中。表1.2.1随机事件w与随机变量X(w)wX(w)(1)(2)(3)0(1)(2)(4)1(1)(2)(5)1(1)(3)(4)1(1)(3)(5)1(2)(3)(4)1(2)(3)(5)1(1)(4)(5)2(2)(4)(5)2(3)(4)(5)2这里，我们看到，所选取的随机变量可以取0，1，2三个实数值，区分出了三种不同的复杂随机事件。而的每种可能，是在给定条件下，符合明确要求的一个基本随机事件，它对应着的一个确定值；但的一个确定值却可以对应不止一个基本随机事件，例如，X=1就对应着的六个不同的可能情况。[例1-2-2]硬币的一面刻着国徽，另一面刻着币值。抛掷一枚硬币，它落地时哪一面朝上是随机的。我们可以事先约定，令刻着国徽的一面朝上对应着随机变量X=1，而刻有币值的一面朝上对应着随机变量X=0。这样，对于并不显现为某某数量如何的随机事件，也照样能用随机变量把它们标识出来。[例1-2-3]气体分子处于不停的、无规则的热运动之中，任何单个分子所在的空间位置及运动速度都在随机地瞬息万变。可以把单个分子的速率取做随机变量，或者把它的速度分量取做随机变量组，还可以把它的空间位置坐标取做随机变量组。随机变量分类:离散型随机变量:随机变量(或随机变量组)所取的值可被一一列举出来；非离散型随机变量:随机变量(或随机变量组)所取的值不能被一一列举出来:在例1-2-3中，分子位置坐标可以取某一范围内的所有实数值，不尽穷举。分子的速率和速度三个分量取值也是如此。实际遇到的非离散型随机变量大都有很好的数学性质，按数学家定义，有连续型随机变量之称1.2.2离散型随机变量的概率分布为了完全地描述一个随机现象，只知道其随机变量X可取哪些值是远远不够的，更重要的是要知道X取各个值的概率。设可能取的值是，相应的概率分别是Pi=P(X=xi)(i=1,2,…,n)经适当选定随机变量，还可以把不同随机事件的概率P写成各事件相应的随机变量X的函数：P=f(x)概率分布----二项式