1二次函数专题训练1.在平面直角坐标系xOy中(如图)。已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.(1)求这条抛物线的表达式;(2)求线段CD的长;(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标。22.如图,已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C。(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标;(2)点M为坐标平面内一点,若MA=MB=MC,求点M的坐标;(3)在抛物线上是否存在点E,使4tan∠ABE=11tan∠ACB?若存在,求出满足条件的所有点E的坐标;若不存在,请说明理由。33.我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”。(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有;②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形“十字形”。(填“是”或“不是”)(2)如图1,A,B,C,D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值范围;(3)如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0,c<0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,﹣ac),记“十字形”ABCD的面积为S,记△AOB,△COD,△AOD,△BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4。求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式;①=;②=;③“十字形”ABCD的周长为12.44.抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D。将抛物线位于直线l:y=t(t<)上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象。(1)点A,B,D的坐标分别为,,;(2)如图①,抛物线翻折后,点D落在点E处.当点E在△ABC内(含边界)时,求t的取值范围;(3)如图②,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。55.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=(x-a)(x-3)的图像与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点D,过其顶点C作直线CP⊥x轴,垂足为点P,连接AD、BC。(1)求点A、B、D的坐标;(2)若△AOD与△BPC相似,求a的值;(3)点D、O、C、B能否在同一个圆上,若能,求出a的值,若不能,请说明理由。66.小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元,调研发现:①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变。小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元)(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?77.抛物线L:y=-x2+bx+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线x=1交于点B。(1)直接写出抛物线L的解析式;(2)如图1,过定点的直线y=kx-k+4(k<0)与抛物线L交于点M、N。若△BMN的面积等于1,求k的值;(3)如图2,将抛物线L向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点C,过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D。F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点,P为线段OC上一点。若△PCD与△POF相似,并且符合条件的点P恰有2个,求m的值及相应点P的坐标。88.在平面直角坐标系中,直线y=x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.(1)求二次函数的表达式;(2)如图1,连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值;(3)如图2,过点D作DM⊥BC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍?若存在,直接写出点D的横坐标;若不存在,请说明理由。99.如图,已知顶点为C(0,﹣3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+m过顶点C和点B.(1)求m的值;(2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式;(3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。1010.在平面直角坐标系xOy中(如下图),已知抛物线22yxx,其顶点为A。(1)写出这条拋物线的开口方向、顶点A的坐标,并说明它的变化情况;(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”。①试求抛物线22yxx的“不动点”的坐标;②平移抛物线22yxx,使所得新拋物线的顶点B是该抛物线的“不动点”其对称轴与x轴交于点C,且四边形OABC是梯形,求新抛物线的表达式。1xyO11参考答案:1.解:(1)把A(﹣1,0)和点B(0,)代入y=﹣x2+bx+c得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+;(2)∵y=﹣(x﹣2)2+,∴C(2,),抛物线的对称轴为直线x=2,如图,设CD=t,则D(2,﹣t),∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处,∴∠PDC=90°,DP=DC=t,∴P(2+t,﹣t),把P(2+t,﹣t)代入y=﹣x2+2x+得﹣(2+t)2+2(2+t)+=﹣t,整理得t2﹣2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2,∴线段CD的长为2;(3)P点坐标为(4,),D点坐标为(2,),∵抛物线平移,使其顶点C(2,)移到原点O的位置,∴抛物线向左平移2个单位,向下平移个单位,而P点(4,)向左平移2个单位,向下平移个单位得到点E,∴E点坐标为(2,﹣2),设M(0,m),当m>0时,•(m++2)•2=8,解得m=,此时M点坐标为(0,);当m<0时,•(﹣m++2)•2=8,解得m=﹣,此时M点坐标为(0,﹣);综上所述,M点的坐标为(0,)或(0,﹣).2.解:(1)将A,B的坐标代入函数解析式,得,解得,抛物线y的函数表达式y=﹣2x2﹣4x+6,当x=0时,y=6,即C(0,6);(2)由MA=MB=MC,得12M点在AB的垂直平分线上,M在AC的垂直平分线上,设M(﹣1,x),MA=MC,得(﹣1+2)2+x2=(x﹣6)2+(﹣1﹣0)2,解得x=∴若MA=MB=MC,点M的坐标为(﹣1,);(3)①过点A作DA⊥AC交y轴于点F,交CB的延长线于点D,如图1,∵∠ACO+∠CAO=90°,∠DAO+∠CAO=90°,∠ACO+∠AFO=90°∴∠DAO=∠ACO,∠CAO=AFO∴△AOF∽△COA∴=∴AO2=OC×OF∵OA=3,OC=6∴OF==∴∵A(﹣6,0),F(0,﹣)∴直线AF的解析式为:,∵B(1,0),(0,6),∴直线BC的解析式为:y=﹣6x+6∴,解得13∴∴∴tan∠ACB=∵4tan∠ABE=11tan∠ACB∴tan∠ABE=2过点A作AM⊥x轴,连接BM交抛物线于点E∵AB=4,tan∠ABE=2∴AM=8∴M(﹣3,8),∵B(1,0),(﹣3,8)∴直线BM的解析式为:y=﹣2x+2,联立BM与抛物线,得∴,解得x=﹣2或x=1(舍去)∴y=6∴E(﹣2,6)②当点E在x轴下方时,如图2,过点E作EG⊥AB,连接BE,设点E(m,﹣2m2﹣4m+6)∴tan∠ABE==2∴m=﹣4或m=1(舍去)可得E(﹣4,﹣10),综上所述:E点坐标为(﹣2,6),(﹣4,﹣10)。3.解:(1)①∵菱形,正方形的对角线互相垂直,∴菱形,正方形是:“十字形”,∵平行四边形,矩形的对角线不一定垂直,∴平行四边形,矩形不是“十字形”,故答案为:菱形,正方形;②如图,当CB=CD时,在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠BAC=∠DAC,∵AB=AD,∴AC⊥BD,14∴当CB≠CD时,四边形ABCD不是“十字形”,故答案为:不是;(2)∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB,∠CBD=∠CDB=∠CAB,∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB,∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB,∴∠AED=∠AEB=90°,∴AC⊥BD,过点O作OM⊥AC于M,ON⊥BD于N,连接OA,OD,∴OA=OD=1,OM2=OA2﹣AM2,ON2=OD2﹣DN2,AM=AC,DN=BD,四边形OMEN是矩形,∴ON=ME,OE2=OM2+ME2,∴OE2=OM2+ON2=2﹣(AC2+BD2),∵6≤AC2+BD2≤7,∴2﹣≤OE2≤2﹣,∴≤OE2≤,∴(OE>0);(3)由题意得,A(,0),B(0,c),C(,0),D(0,﹣ac),∵a>0,c<0,∴OA=,OB=﹣c,OC=,OD=﹣ac,AC=,BD=﹣ac﹣c,∴S=AC•BD=﹣(ac+c)×,S1=OA•OB=﹣,S2=OC•OD=﹣,S3=OA×OD=﹣,S4=OB×OC=﹣,∵=+,=+,∴+=+,∴=2,∴a=1,∴S=﹣c,S1=﹣,S4=﹣,∵,15∴S=S1+S2+2,∴﹣c=﹣+2,∴﹣=﹣c•,∴=,∴b=0,∴A(﹣,0),B(0,c),C(,0),d(0,﹣c),∴四边形ABCD是菱形,∴4AD=12,∴AD=3,即:AD2=90,∵AD2=c2﹣c,∴c2﹣c=90,∴c=﹣9或c=10(舍),即:y=x2﹣9。4.解:(1)当y=0时,有﹣x2+x﹣1=0,解得:x1=,x2=3,∴点A的坐标为(,0),点B的坐标为(3,0)。∵y=﹣x2+x﹣1=﹣(x2﹣x)﹣1=﹣(x﹣)2+,∴点D的坐标为(,)。故答案为:(,0);(3,0);(,)。(2)∵点E、点D关于直线y=t对称,∴点E的坐标为(,2t﹣).当x=0时,y=﹣x2+x﹣1=﹣1,∴点C的坐标为(0,﹣1)。设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,将B(3,0)、C(0,﹣1)代入y=kx+b,,解得:,∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1。∵点E在△ABC内(含边界),16∴,解得:≤t≤.(3)当x<或x>3时,y=﹣x2+x﹣1;当≤x≤3时,y=x2﹣x+1。假设存在,设点P的坐标为(m,0),则点Q的横坐标为m.①当m<或m>3时,点Q的坐标为(m,﹣x2+x﹣1)(如图1),∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,∴CP⊥PQ,∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(﹣m2+m)2=m2+1+m2+(﹣m2+m﹣1)2,整理,得:m1=,m2=,∴点P的坐标为(,0)或(,0);②当≤m≤3时,点Q的坐标为(m,x2﹣x+1)(如图2),∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,∴CP⊥PQ,∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(m2﹣m+2)2=m2+1+m2+(m2﹣m+1)2,整理,得:11m2﹣28m+12=0,解得:m3=,m4=2,∴点P的坐标为(,0)或(1,0)。综上所述:存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,点P的坐标为(,0)、(,0)、(1,0)或(,0)。5.(1)解:∵y=(x-a)(x-3)(0a3)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)∴A(a,0),B(3,0),当x=0时,y=3a,∴D(0,3a)。(2)解:∵A(a,0),B(3,0),D(0,3a).∴对称轴x=,AO=a,OD=3a,当x=时,y=-,∴C(,-),∴PB=3-=,PC=,①当△AOD∽△BPC