二阶系统的阶跃响应

—自动控制理论—太原工业学院自动化系第三节二阶系统的阶跃响应2020/5/10第三章线性系统的时域分析2本节内容3.3.1、典型二阶系统的动态特性3.3.2、二阶系统动态特性指标3.3.3、二阶系统特征参数与动态性能指标之间的关系3.3.4、二阶工程最佳参数3.3.5、零、极点对二阶系统动态性能的影响1、二阶系统的传递函数我们称二阶微分方程描述的系统为二阶系统，如图3-10所示的位置随动系统的开环传递函数为：KmKBKssTKsW2)(系统的闭环传递函数为：)1(sTsKWmKK二阶系统闭环传递函数的标准形式为：mKmmKBTKsTsTKsW1/)(22020/5/10第三章线性系统的时域分析422222)()()()2(nnnrcBnnKsssXsXsWssW则得：位为或无阻尼振荡频率，单荡角频率称作二阶系统的自然振引入参数,/,sradTKmKn量纲二阶系统的阻尼比，无单位为秒二阶系统的时间常数，式中：KmmKT21T2020/5/10第三章线性系统的时域分析5二阶系统的特征方程：0222nnss特征方程的两个根（闭环极点）为：122,1nns二阶系统的标准结构图为：()rXs()cXs2.二阶系统闭环极点随阻尼系数变化的情况0jS平面nξ-0jS平面0jS平面0jS平面0jS平面1s2s2n10ξ1(a)nξ-21ss1s2sξ=1(b)ξ1(c)1s2sn0nξ1s2s2n1ξ=0(d)-1ξ0(e)2020/5/10第三章线性系统的时域分析7二阶系统的时间响应取决于ξ和ωn这两个参数。随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根具有不同的性质，从而系统的响应特性可分为以下几种情况：1.过阻尼响应；2.欠阻尼响应；3.临界过阻尼响应；4.无阻尼响应；5.不稳定响应。3.3.1、典型二阶系统的动态特性1011002020/5/10第三章控制系统的时域分析8101、欠阻尼：系统的闭环极点为：21nd称为阻尼自然振荡角频率。dnnjjs22,11单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。当输入信号为：则输出的拉氏变换为：ssXr1ssssXsWsXnnnrBc12)()()(2222020/5/10第三章控制系统的时域分析9系统闭环极点是一对共轭复数极点，因为实部为负，所以位于Ｓ平面左半平面。)(n2222221)2()(nnnnncssbassssssXnnnnbassbsas2,1:2:2222可求得由于2020/5/10第三章控制系统的时域分析10222222221221)(:nnnnnnnnncsssssssssssX因此222222222111dnddnndnndnncsssssssssXttdtdtnnsine1cose-1(t)x-2-c2020/5/10第三章控制系统的时域分析11)(1arctgcos1sin)sin(e11-1)sincos1(e11-1sine1cose-1(t)x22-22-2-2-c阻尼角tttttdtddtdtdtnnnn2020/5/10第三章控制系统的时域分析12欠阻尼时，系统的阶跃响应的第一项是稳态分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正弦振荡，其振荡频率为：)(tc21ndd称为阻尼自然振荡频率。0C(t)tC(∞)()cxt()cx2020/5/10第三章线性系统的时域分析13二阶系统单位阶跃响应的偏差为（1）当时，二阶系统单位阶跃响应和其偏差响应均为衰减的正弦振荡过程。二阶系统所具有的衰减正弦振荡形式的响应称为欠阻尼响应。小结：01()ct()et-c21e(t)(t)-(t)esin()t01ntrdxxt2020/5/10第三章线性系统的时域分析14（2）共轭复数极点实部的绝对值决定了欠阻尼响应的衰减速度，越大，即共轭复数极点离虚轴越远，欠阻尼响应衰减得越快。欠阻尼响应的振荡频率为，其值总小于系统的无阻尼自然振荡频率。（3）欠阻尼响应过程的偏差随时间的推移而减小，当时间趋于无穷时它趋于零。nndn2020/5/10第三章线性系统的时域分析15二阶系统的欠阻尼响应曲线()cxt()cxtttxnccos1)(响应为等幅振荡，为系统的无阻尼自然频率。n02..无阻尼：222)()()(nnrcBssXsXsW单位阶跃输入时，，输出的拉氏变换为：ssR1)(2222211)(nnncssssssX2020/5/10第三章线性系统的时域分析162020/5/10第三章线性系统的时域分析17二阶系统的无阻尼响应曲线00.511.522.5300.20.40.60.811.21.41.61.82StepResponseTime(sec)Amplitude2020/5/1018ns2.11时,当nnnnncssssssX11222tncnettx110j××n求其拉氏反变换，得：此时二阶系统的单位阶跃响应为单调上升曲线。13、临界阻尼：122,1nns第三章线性系统的时域分析输出的变化率为:0)(368.0)(;0)()(102tcntctctncdttdxdttdxdttdxtedttdxnn二阶系统的临界阻尼单位阶跃响应曲线存在拐点2020/5/10第三章线性系统的时域分析20二阶系统的临界阻尼响应曲线01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91StepResponseTime(sec)Amplitude闭环极点为：2122(1)(1)nnpp∵是小于零的两个相异实根,均位于根平面的左半平面的实轴上。121,p，-p13、过阻尼：2020/5/10第三章线性系统的时域分析21-P2-P1系统的单位阶跃响应可求得如下：22221201212()(2)()()nncnnXsssssspspAAAsspsp按不同极点的情况求系数321,,AAA121021223222()11()()21(1)1()()21(1)cscspcspAXssAXsspAXssp2020/5/10第三章线性系统的时域分析221p2p求拉氏反变换，得：0,111211)(2)1(2)1(222teetxttcnn21211()()1nnnnpCsRssps12020/5/10第三章线性系统的时域分析241.单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量两部分组成；2.而暂态分量包含两项衰减的指数项。3.当时，第二项的衰减指数远大于第一项。此时，可将第二项忽略，将系统近似为一阶系统。近似传函与原传函的初始值和终值保持不变。01)()1(2tetxtcn，系统的响应时间为）达到%95()1(32n相当于惯性时间常数nT)1(12在工程上，当时，使用上述近似关系已有足够的准确度。5.1此时系统的单位阶跃响应为：2020/5/10第三章线性系统的时域分析252020/5/10第三章控制系统的时域分析26:)为则输出响应的准确值(,如令蓝色2,1nttceetx27.073.3077.1077.01tcetx27.01近似计算值（绿色）：120.273.73pp一般来说，当s1与虚轴的距离为s2与虚轴的距离的五倍以上时即可用一阶系统来近似。（主导极点的概念）051015202500.10.20.30.40.50.60.70.80.91StepResponseTime(sec)Amplitude二阶系统不同阻尼系数情况下的单位阶跃响应曲线取横坐标为，不同阻尼比值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族如图所示：tn从图可见：（１）越小，振荡越厉害，当增大到１以后，曲线变为单调上升。（２）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。（３）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（４）过阻尼系统过渡过程时间长。8.0~5.02020/5/10第三章线性系统的时域分析29二阶系统的单位阶跃响应—ξ的影响2020/5/10第三章线性系统的时域分析30二阶系统的单位阶跃响应的小结1、阻尼比ξ越小，单位阶跃响应的振荡性越强，并在ξ=0时呈现等幅振荡，最终在负阻尼ξ0时发展为发散振荡。2、在欠阻尼响应中，当ξ=0.4～0.8时的响应过程不仅具有比ξ=1时更短的调节时间，而且振荡程度也不严重。3、对于有些不允许时间响应出现超调，而又希望响应速度较快的情况，可采用临界阻尼或过阻尼系统。4、在阻尼比ξ为定值的情况下，无阻尼自然振荡频率越大，二阶系统的单位阶跃响应过程较快，调节时间较短。nβ稳定二阶系统的单位阶跃响应的小结σjω0ξ增大ωnσ=ξωnωd122,1nns22,11nnjsns2,1）无阻尼：（0)sin(111)(2tetcdtnnjs2,1ttcncos1)(tnnettC11）欠阻尼：（10等幅振荡：衰减振荡：）＝临界点阻尼：（1衰减：）过阻尼：（1衰减：111211)(2)1(2)1(222ttnneetc2020/5/10第三章线性系统的时域分析31阻尼系数对控制系统的影响2020/5/10第三章线性系统的时域分析34阻尼系数对控制系统的影响0.20.12.01.06n2020/5/10第三章线性系统的时域分析36自然振荡频率对控制系统的影响121086427.0n-c2-21x(t)1-esin()111esin()01sin()0nrnrtdrtdrdrdrtttt１、上升时间tr得：rdt2020/5/10第三章线性系统的时域分析373.3.2、二阶系统阶跃响应的性能指标２、峰值时间tm得：mdt-c21x()1-esin()1nmtmdmtt要使最大，即：且时间最短，则有：cx()0mt--c2221x()(-esin()ecos())01-sin()1cos()0-sin()1cos()0sin()0sin()0nmnmttmndmddmndmndmdmdmdmdmdmtttttttttt2020/5/10第三章线性系统的时域分析38３、最大超调量σ％得：21()()%(%)()cmcPPcxtxeMMx或2222-c2--1122--11221x()1-esin()1111-esin()1esin()1111e11e1nmddtmdmtt202