第一讲习题参考答案

1.设N为取值非负整数的随机变量,证∑∑∞=∞==≥=10)()(nnnNPnNPEN设X是非负随机变量,具有分布函数F(x),证)1(d))(1()(,d))(1(010≥−=−=∫∫∞−∞nxxFnxXExxFEXnn证明：(1)0111110()()()()(1)()nnnmnmnmnnnENnPNnPNnPNnPNnPNnPNn∞∞===∞∞===∞∞=========≥=+=∑∑∑∑∑∑∑∑得证.(2)01001010()()d(1)d()d()dd(1())dnnxnnynEXxfxxnnyyfxxfxxnyynxFxx∞∞−∞∞−∞−=≥===−∫∫∫∫∫∫得证.3.设321,,NNN独立,iN是参数为iλ的Poisson分布,.3,2,1=i(1)求;),(21NnnNNP∈=+)(21021021021212121!)()!(!)()(),()(λλλλλλλλ+−=−−−==+=−=−===−====+∑∑∑enknkeknNPkNPknNkNPnNNPnnkknknknk可见,21NN+是参数为21λλ+的Poisson分布.(2)求;0),(211nknNNkNP≤≤=+=1121121212121212()(,)()()()()!!()!()knknPNkNNnPNkNNnPNNnPNkPNnkPNNnnknkλλλλ−=+==+==+===−=+==−+(3)证明21NN+与3N独立.证明:2121122331122133011221330(,)(,,)()()()nnnnPNNnNnPNnNnnNnPNnPNnnPNn==+=====−====−=∑∑231213121231213121312121303123121033122!()!!!!()!()()nnnnnnnnnnnneeennnneeennnnPNnPNNnλλλλλλλλλλλλ−−−−=−−−−==⋅⋅−=⋅⋅−==+=∑∑得证.(4)求112()ENNN+及121()ENNN+.112112011112120111121212()()(1)!!(1)!()()()knknknknnENNNnkPNkNNnnnknknnλλλλλλλλλλλλλ+∞=−−−=−+==⋅=+=−=⋅−−+=⋅+=++∑∑11211212()()=NNENNNλλλ+∴++12111211212()()()()ENNNENNENNNENNλ+=+=+=+5.设,,,,21nXXX独立同0−1分布,且有pXPn==)1(10,)0(1=−=pXPn.N是参数为λ的Poisson分布,且与}{nX独立.∑==NiiX1ξ,求ξ的分布,ξE及ξD.1100{}{,}{,}NniiiinnkNnXkNnXkξ∞∞===========∑∑∵∪∪()()[]1011100()(,)()()!(1)!!()!(1)()!!()!niinknniiiinnknknknknknkpPkPNnXkPNnPXkPNnPXkneppnknkppeknpekλλλξλλλλ∞==−∞====∞−−=∞−=−∴=======+===⋅−−−==∑∑∑∑∑∑∑∑可见ξ是参数为pλ的Poisson分布,所以,.EpDpξλξλ==10.设nXXX,,,21独立,iX是参数为iλ的指数分布,)()2()1(,1nXXXni≤≤≤≤≤为相应的顺序统计量,(1)求λλ=i时,),()()1(nXX的联合概率密度函数.(1)()12(,)(,,1(,]2(,]1(,])!(()())0!(2)!1!(()())(()())nxynn-PxXxxyXyyPXXxxxnxxyyyynFxxFxn-FyFxxFyyFy≤+∆≤+∆=+∆−+∆+∆=+∆−⋅−+∆⋅+∆−中恰有个在中，恰有个在中，恰有个在中所以(1)()2(,)00(1)(()())()()nn-PxXxxyXyyxyxynnFyFxpxpy≤+∆≤+∆∆→∆→∆∆=−−,得2(1),(){}(,)(1)(()())()()nXXnxyfxynnFyFxfxfyI−=−−⋅代入{0}0()()d1xxxtxfxeIFxeteλλλλλ−≥−−=⋅==−∫得22{0}(,)(1)()xynxyxyfxynneeeIλλλλλ−−−−−≤=−−⋅(2)求λλ=i时,)(iX的概率密度函数)1(ni≤≤.同理,1!()(())(1())()(1)!()!knkknfxFxFxfxknk−−=−⋅−−得1{0}!()(1)(1)!()!xknxkxnfxeeIknkλλλ−−≥=−⋅−−(3)求21XX+的分布函数.因为12XX和独立,所以21XX+的p.d.f.满足如下卷积关系:1212121212,()120121221212()(,)dd()()dd(),,XXxyzXXzxzxzzzfXXzfxyxyfxfzxxeexeeezλλλλλλλλλλλλλλλλλ+≤+∞−∞−−−−−−+≤==−=−≠−===∫∫∫∫()1212211201212021212012122112()()dd,d,,1,zXXzuuzuzzzzFXXzfuueeueuueeezeλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+−−−−−−−∴+≤=−⋅≠−=⋅==−≠=−−−==∫∫∫14.设X,Y,Z为三维离散型r.v.∞)(XE.证],)([)(]),([ZYYXEEYXEYZYXEE==并说明其直观意义.证明:对,jkyz∀∈Ω∈Ω,设,jkYyZz==,则[(,)](,)()(,)()jjkkjkiijkkjkiEEXYZYyEXYyZzPZzYyxPXxYyZzPZzYy============∑∑∑(,,)(,)(,)()(,)()()ijkjkijkjkiiikjkiiijijPXxYyZzPYyZzxPYyZzPYyxPXxZzYyxPXxYyEXYy======⋅============∑∑∑∑∑和[(),][(),]()jkjjkjEEXYYyZzEEXYyYyZzEXYy========由,jkyz的任意性,可得[(,)]()[(),]EEXYZYEXYEEXYYZ==得证.上式中第一个等式的直观意义为:分的较“粗”的区域上的平均等于分的其更“细”的局部区域上的加权平均的加权平均.更准确地说，将{:()}=jjYyBωωω∈=按照{:()Zωωω∈=}kkzC=划分为若干个kjCB,在每个kC上()Xω有均值,则在jB上对这些均值再求加权平均,等于直接在jB上求()Xω的加权平均.第一个等式可以看作是条件概率的全概率公式的推广.上式中第二个等式的直观意义为:在{:(),()jYyZωωωω∈=}kjkzBC==上,其中{:()}=jjYyBωω=,{:()}=kkZzCωω=,则jB上()Xω的均值,与kC无关.15.设),(~2σµNX.求X在0≥X下的条件概率密度函数,及当1,2==σµ时的)0(≥XXE.{0}00(0)(0)(0)()d()dxxPXxXPXxPXfuufuuI+∞≥≤≤≤≤=≤=⋅∫∫所以条件概率密度函数为:2222220()/2()/20()/2(0)()()d{0}{0}d{0}2π()xuxfxxfxfuuIxeIxeueIxµσµσµσµ+∞−−+∞−−−−≥=⋅≥=⋅≥=⋅≥⋅Φ∫∫2(2)/22,102(0)d2π(2)22.05532π(2)xEXXxexeµσ+∞−−==−∴≥⋅=⋅Φ=+=⋅Φ∫