1.3函数的几何特征

§1.3函数的几何特征一、单调性二、有界性三、奇偶性四、周期性定义1.3一、单调性,DI,D)x(f区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是严格单调增加的在区间则称函数Ixf),()()1(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是严格单调减少的在区间则称函数Ixf,DI,D)x(f区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有.(monotonicfunction)单调增加或减少的函数称为单调函数例1.),(3内是严格单增的在函数xy因为3231xx))((22212121xxxxxx222212143)21()(xxxxx时，当21xx.3231xx.),(3内是严格单增的在所以函数xy解yx3xyO11例22xy函数yx2xyO11.),0(内是严格单增的在.),(不是单调函数内但在整个定义域;)0,(内是严格单减的在二、有界性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf,)2,1(1)(上有界在xxf.)1,1(上无界在定义1.4.)()()()())(()()()(的函数或有下界内有上界是，也称或有下界内有上界在成立，则称或，都有，使得对每一个或在数内有定义，若存在集合设函数DxfDxfBxfAxfDxBADxf定义1.5有界函数必有上界和下界；反之，既有上界又有下界的函数必是有界函数.注意.所示轴的直线之间，如下图在两条平行于有界函数的图形完全落x几何特征内有界，在例如，函数),(sinxyOxybAyaBy内有下界但无上界，在函数),(2xy.),(2内是无界函数在因此xy.]1,1[2上是有界函数在但函数xxy偶函数有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf.)functioneven()(为偶函数称xf偶函数的图形关于y轴对称.三、奇偶性有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf).functionodd()(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy奇函数的图形图形关于原点对称.注意奇(偶)函数f(x)的定义域D应为关于原点对称的区间.为奇函数，为整数例如，)(12kxyk,)(2为偶函数为整数kxyk是偶函数，Cy.2函数既不是奇函数也不是偶xxy，既是奇函数又是偶函数0y例3.0,1e0,e1)()2();1ln()()1(2xxxgxxxfxx判断下列函数的奇偶性解)()1(xf.)1ln()(2是奇函数所以xxxf))(1ln(2xx)1ln(2xx211lnxx)1ln(2xx)(xf0,1e0,e1)()2()(xxxgxx因.)(为奇函数因此xg0,1e0,e1xxxx)(xg定义1.7四、周期性(通常说周期函数的周期是指其最小正周期)2l2l23l23l设f(x)的定义域为D,若l0,使对xD有(xl)D且有f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.最小正周期；是周期函数，但它没有函数Cxf)(的周期函数；为周期是以，和π2),,(cossinxxyxy例如，;π,Z,2ππ,tan为周期的周期函数是以kkxxy.1),(],[)(周期函数为周期的是以函数xxxxf11223yO3xcos()tan,()例设问具有什么特性？xfxxxefx