2017-2018高中数学第一章直线、多边形、圆1第三课时直角三角形的射影定理北师大选修4-1(1)

章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练§1全等与相似合作探究直角三角形的射影定理§1全等与相似第三课时直角三角形的射影定理[自主学习]射影定理射影定理文字语言直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的与的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上的比例中项．符号语言在Rt△ABC中AC⊥CB，CD⊥AB于D，则AC2＝，BC2＝，CD2＝.射影斜边射影AD·ABBD·BABD·AD射影定理图形语言如图所示[合作探究]在直角三角形中，勾股定理与射影定理有什么联系？提示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高．应用射影定理可以得到AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·AB＝(AD＋BD)·AB＝AB2.可见利用射影定理证明勾股定理比用面积割补的方法证明更简洁．利用射影定理解决计算问题[例1]如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的长．[思路点拨]本题主要考查利用射影定理计算直角三角形中的有关线段长问题．解此题时要先判断△ABC为直角三角形，进一步由射影定理求CD.[精解详析]在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，满足AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°，∴∠C＋∠B＝90°，∴∠BAC＝90°，∴在Rt△ABC中，AD⊥BC.由射影定理可知，AD2＝BD·CD，∴62＝8×CD，∴CD＝92.利用射影定理时注意结合图形．同时可添加垂线创设更多的直角三角形，以利用射影定理与勾股定理解决计算问题．1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD是斜边上的高，AC＝5，BC＝8，求S△CDA∶S△CDB.解：∵△CDA和△CDB同高，∴S△CDAS△CDB＝ADBD.又AC2＝AD·AB，CB2＝BD·AB，∴AC2CB2＝AD·ABBD·AB＝ADBD.∴S△CDAS△CDB＝AC2CB2＝5282＝2564.2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是Rt△BCD斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝2.求AD的长是多少．解：因为在Rt△BCD中，DE⊥BC，所以由射影定理可得：CD2＝CE·BC，所以CD2＝16，因为BD2＝BE·BC，所以BD＝6×8＝43.因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以由射影定理可得：CD2＝AD·BD，所以AD＝CD2BD＝1643＝433.利用射影定理解决证明问题[例2]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E.求证：(1)AB·AC＝AD·BC；(2)AD3＝BC·BE·CF.[思路点拨]本题主要考查利用射影定理证明等积问题，解答此题时分别在三个直角三角形中应用射影定理，再将线段进行代换，即可证明等积问题．[精解详析](1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴S△ABC＝12AB·AC＝12BC·AD，∴AB·AC＝AD·BC.(2)在Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC.∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC.∴AD4＝BD2·DC2，∴AD4＝BE·CF·AB·AC.∴AD3＝BE·CF·AB·AC·1AD.又AB·AC＝BC·AD，∴AD3＝BE·CF·BC.在同一问题中需多次应用射影定理时，一定要结合图形，根据要证的结论，选择好射影定理的表达式．同时，注意线段的等量代换及比例式可化为乘积式的恒等变形．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC.证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，由射影定理知AC2＝CD·BC，即ACCD＝BCAC.∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF.∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD.∴AEDF＝ACDC.∴EFDF＝ACDC.∴EFDF＝BCAC，即EF∶DF＝BC∶AC.4．如图，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H.求证：DF2＝GF·HF.证明：在△AFH与△GFB中，因为∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，所以∠H＝∠GBF.因为∠AFH＝∠GFB＝90°，所以△AFH∽△GFB.所以HFBF＝AFGF，所以AF·BF＝GF·HF.因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，所以DF2＝AF·BF，所以DF2＝GF·HF.本课时主要考查利用射影定理求线段长与证明问题，属中低档题．[考题印证]如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CD⊥AB，垂足为D，已知AD＝2，CB＝43，则CD＝.[命题立意]本题主要考查利用射影定理计算线段长问题．[自主尝试]由射影定理知CD2＝AD·BD，BC2＝BD·AB∴BC2＝(AB－AD)·AB.即AB2－2AB－48＝0.∴AB＝8，∴BD＝6，故CD2＝2×6＝12，∴CD＝23.答案：23一、选择题1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若ACAB＝34，则BDCD＝()A．34B．43C．169D．916解析：由射影定理知，BD＝AB2BC，CD＝AC2BC，所以BDCD＝AB2AC2＝ABAC2又ACAB＝34，所以BDCD＝169.答案：C2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是()A．3∶2B．9∶4C．3∶2D．2∶3解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，又∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5.∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.∴ACBC＝1510＝32，即AC∶BC＝3∶2.答案：C3．在△ABC中，CD⊥AB于点D，下列不能确定△ABC为直角三角形的是()A．AC＝2，AB＝22，CD＝2B．AC＝3，AD＝2，BD＝2C．AC＝3，BC＝4，CD＝125D．AB＝7，BD＝4，CD＝23解析：在A中，AD＝2，AC2＝AD·AB，故△ABC为直角三角形；在B中，CD＝5，CD2＝5≠AD·DB＝4，故△ABC不是直角三角形，同理可证C，D中三角形为直角三角形．答案：B4．在△ABC中，AD是高，且AD2＝BD·DC，则∠BAC()A．大于90°B．等于90°C．小于90°D．不能确定图1解析：如图(1)，由AD2＝BD·CD，有AB2＋AC2＝BD2＋CD2＋2AD2＝BD2＋CD2＋2BD·CD＝(BD＋CD)2，即AB2＋AC2＝BC2，可得∠BAC＝90°，如图(2)，显然AD2＝BD·CD，D点在△ABC外，则∠ACB90°，所以△ABC是直角或钝角三角形．图2答案：D二、填空题5．如图所示，Rt△ABC中，AC⊥BC，点C在AB上的正射影为D，且AC＝3，AD＝2，则AB＝.解析：∵AC⊥BC，又D是C在AB上的正射影，∴CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB.又AC＝3，AD＝2，∴AB＝AC2AD＝92.答案：926．(湖北高考)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则CEEO的值为．解析：连接AC，BC，则AC⊥BC.∵AB＝3AD，∴AD＝13AB，BD＝23AB，OD＝16AB.又AB是圆O的直径，OC是圆O的半径，∴OC＝12AB.在△ABC中，根据射影定理有：CD2＝AD·BD＝29AB2.在△OCD中，根据射影定理有：OD2＝OE·OC，CD2＝CE·OC，可得OE＝118AB，CE＝49AB，∴CEEO＝8.答案：87．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD＝.解析：如图，由射影定理得：CD2＝AD·BD，又∵BD∶AD＝1∶4，设BD＝x，则AD＝4x(x0)，∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x.在Rt△CDB中，tan∠BCD＝BDCD＝x2x＝12.答案：128．如图，在△ABC中，D，F分别在AC，BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，则AC＝.解析：；在△ABC中，设AC＝x，因为AB⊥AC，AF⊥BC，FC＝1，根据射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.再由射影定理，得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，即AF2＝x2－1.所以AF＝x2－1.在△BDC中，过D作DE⊥BC于E，因为BD＝DC＝1，所以BE＝EC.又因为AF⊥BC，所以DE∥AF，所以DEAF＝DCAC，所以DE＝DC·AFAC＝x2－1x.在Rt△DEC中，因为DE2＋EC2＝DC2，即x2－1x2＋x222＝12，所以x2－1x2＋x44＝1.整理得x6＝4.所以x＝32.所以AC＝32.答案：32三、解答题9．如图所示，在△ABC中CD⊥AB，BD＝AB－12AC，求∠BAC.解：因为BD＝AB－12AC，所以AB－BD＝12AC＝AD.因为CD⊥AB，所以∠CDA＝90°，在Rt△ADC中，cos∠CAD＝ADAC＝12ACAC＝12.∴∠BAC＝60°.10．如图，在△ABC中，AB＝m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，CD⊥AB于点D.求BD，CD的长．解：设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.因为∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，所以x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.所以∠ABC＝60°，∠ACB＝90°.因为AB＝m，所以BC＝12m，又因为CD⊥AB，所以BC2＝BD·AB，即12m2＝BD·m，所以BD＝14m.AD＝AB－BD＝m－14m＝34m.由CD2＝AD·BD＝34m·14m＝316m2，得CD＝34m.因此，BD的长是14m，CD的长是34m.11．如图，已知BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.证明：因为∠H＝∠BCF，∠EBC＝∠GBH，所以△BCE∽∠BHG，因为CE⊥BH，所以∠BGH＝90°，所以HG⊥BC.在Rt△BCD中，因为BD⊥DC，所以GD2＝GB·GC.①在△FCG和△BHG中，因为∠FGC＝∠HGB＝90°，∠BCF＝∠H，所以△FCG∽△BHG，所以GFGB＝GCGH，即GB·GC＝GF·GH，②由①②得，GD2＝GF·GH.