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题型专项(七)三角形、四边形的证明与计算类型1三角形的证明与计算1．(2016·宜宾)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC，∴∠CBA＝∠DAB.在△BCA与△ADB中，∠CAB＝∠DBA，AB＝AB.∠CBA＝∠DAB，∴△BCA≌△ADB(ASA)，∴BC＝AD.[来源:Z#xx#k.Com]2．(2014·南宁)如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．解：(1)证明：∵AB∥FC，∴∠A＝∠FCE.在△ADE和△CFE中，∠A＝∠FCE，∠DEA＝∠FEC，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE(AAS)．(2)∵AB∥FC，∴△GBD∽△GCF.∴GB∶GC＝BD∶CF.∵GB＝2，BC＝4，BD＝1，∴2∶6＝1∶CF.∴CF＝3.∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF.∴AB＝AD＋BD＝4.3．(2016·泰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE.(1)求证：AD∥BC；(2)过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF＝4，求BC的长．解：(1)证明：∵AD平分∠CAE，∴∠DAG＝∠DAC＝12∠CAG.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.[来源:学科网]∵∠CAG＝∠B＋∠ACB，∴∠B＝12∠CAG.∴∠B＝∠DAG.∴AD∥BC.(2)∵CG⊥AD，∴∠AFC＝∠AFG＝90°.在△AFC和△AFG中，∠CAF＝∠GAF，AF＝AF，∠AFC＝∠AFG，∴△AFC≌△AFG(ASA)．∴CF＝GF.∵AD∥BC，∴△AGF∽△BGC.∴GF∶GC＝AF∶BC＝1∶2.∴BC＝2AF＝2×4＝8.4．(2016·襄阳)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：AB＝AC；(2)若AD＝23，∠DAC＝30°，求AC的长．解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.[来源:Zxxk.Com]∵BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.在Rt△ADC中，∵∠DAC＝30°，AD＝23，∴AC＝ADcos30°＝4.类型2四边形的证明与计算5．(2015·桂林)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．(1)求证：四边形EBFD为平行四边形；(2)对角线AC分别与DE，BF交于点M，N，求证：△ABN≌△CDM.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝DF.∵BE∥DF，∴四边形EBFD为平行四边形．(2)∵四边形EBFD为平行四边形，∴∠ABN＝∠CDM.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠BAC＝∠DCA.在△ABN和△CDM中，∠BAN＝∠DCM，AB＝CD，∠ABN＝∠CDM，∴△ABN≌△CDM(ASA)．6．(2016·桂林模拟)如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF＝EC且EF⊥EC.(1)求证：AE＝DC；(2)已知DC＝10，求BC的长．解：(1)证明：∵EF⊥EC，∴∠CEF＝90°，∠2＋∠3＝90°.又∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3.在△AEF和△DCE中，∠A＝∠D，∠1＝∠3，EF＝CE，∴△AEF≌△DCE.∴AE＝DC.(2)由(1)可知AE＝DC＝10，AB＝DC＝10，∴BE＝AB2＋AE2＝102＋102＝102.7．(2016·济宁)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.(1)EO＝2，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝OC，△ABC是等腰直角三角形．在△ACF中，AC＝CF，CE平分∠ACF，∴AE＝EF.∴EO为△AFC的中位线．∴CF＝2EO＝22.∴AC＝22.∴AB＝AC2＝2.(2)EM＝12CN.证明：∵CF＝CA，CE是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF.∴∠AEN＝∠CBN＝90°.∵∠ANE＝∠CNB，∴∠BAF＝∠BCN.在△ABF和△CBN中，∠BAF＝∠BCN，AB＝CB，∠ABF＝∠CBN＝90°，∴△ABF≌△CBN(ASA)．∴AF＝CN.∵∠BAF＝∠BCN，∠ACN＝∠BCN，∴∠BAF＝∠OCM.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∴∠ABF＝∠COM＝90°.∴△ABF∽△COM.∴CMAF＝COAB.∴CMCN＝COAB＝22，即CM＝22CN.由(1)知EOCB＝EMCM＝22，∴EM＝22CM＝22×22CN＝12CN.8．(2016·玉林)如图1，菱形ABCD对角线AC，BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A，B，C，D分别在四边形EFGH的边EF，FG，GH，HE上．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知ACBD＝2，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵O为FH的中点，∴OF＝OH.在△AOF和△COH中，OA＝OC，∠AOF＝∠COH，OF＝OH，∴△AOF≌△COH.∴∠AFO＝∠CHO.∴EF∥GH.同理可证∴EH∥FG.△BOF≌△DOH.∴∠OFB＝∠OHD.∴四边形EFGH是平行四边形．(2)∵S菱形ABCD＝12AC·BD＝20，又ACBD＝2，解得AC＝45，BD＝25.在△AOB和△AGH中，∠BAO＝∠CAG，∠AOB＝∠AGC，∴△AOB∽△AGH.∴AOBO＝AGGH＝ACBD＝21.设GH＝x，则AG＝2x.∴x2＋(2x)2＝(45)2，解得x＝4.∴矩形EFGH长与宽分别是8和4.9．(2016·南宁)已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.(1)如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；(2)如图2，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B，C重合)，求证：BE＝CF；[来源:Zxxk.Com](3)如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．解：(1)AE＝EF＝AF.(2)证明：连接AC，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.[来源:学&科&网Z&X&X&K]在△BAE和△CAF中，∠BAE＝∠CAF，BA＝CA，∠B＝∠ACF，∴△BAE≌△CAF.∴BE＝CF.(3)过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴∠AEB＝45°.在Rt△ABG中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴BG＝2，AG＝23.在Rt△AEG中，∵∠AEG＝∠EAG＝45°，∴AG＝GE＝23.∴EB＝EG－BG＝23－2.∵△AEB≌△AFC，∴AE＝AF，EB＝CF＝23－2，∠AEB＝∠AFC＝45°.∵∠EAF＝60°，AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．∴∠AEF＝∠AFE＝60°.∵∠AEB＝45°，∠AEF＝60°，∴∠CEF＝∠AEF－∠AEB＝15°.在Rt△EFH中，∠CEF＝15°，∴∠EFH＝75°.∵∠AFE＝60°，∴∠AFH＝∠EFH－∠AFE＝15°.∵∠AFC＝45°，∴∠CFH＝∠AFC－∠AFH＝30°.在Rt△CHF中，∵∠CFH＝30°，CF＝23－2，∴FH＝CF·cos30°＝(23－2)×32＝3－3.∴点F到BC的距离为3－3.10．(2016·枣庄)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上．已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB＞63.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．解：(1)过点P作PG⊥EF于G.∵PE＝PF＝6，EF＝63，∴FG＝EG＝33，∠FPG＝∠EPG＝12∠EPF.在Rt△FPG中，sin∠FPG＝FGPF＝336＝32.∴∠FPG＝60°.∴∠EPF＝2∠FPG＝120°.(2)作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N.∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC＝∠BAC，AM＝AN，PM＝PN.在Rt△PME和Rt△PNF中，PM＝PN，PE＝PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF.∴NF＝ME.又AP＝10，∠PAM＝12∠DAB＝30°，∴AM＝AN＝AP·cos30°＝10×32＝53.∴AE＋AF＝(AM＋ME)＋(AN－NF)＝AM＋AN＝103.(3)如图，当△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动时，点P在P1，P2之间运动，易知P1O＝P2O＝3，AO＝9，∴AP的最大值为12，最小值为6.11．(2016·东营)如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B，C分别在边AD，AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°＜θ＜90°)时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．解：(1)BD＝CF成立．证明如下：由题意，得∠CAF＝∠BAD＝θ.在△CAF和△BAD中，CA＝BA，∠CAF＝∠BAD，FA＝DA，∴△CAF≌△BAD，∴BD＝CF.(2)①证明：由(1)得△CAF≌△BAD，∴∠CFA＝∠BDA.∵∠FNH＝∠DNA，∠DNA＋∠NDA＝90°，∴∠CFA＋∠FNH＝90°.∴∠FHN＝90°，即BD⊥CF.②连接DF，延长AB交DF于M，∵四边形ADEF是正方形，AD＝32，AB＝2，∴AM＝DM＝3，BM＝AM－AB＝1，DB＝DM2＋BM2＝10.∵∠MAD＝∠MDA＝45°，∴∠AMD＝90°.又∵∠DHF＝90°，∠MDB＝∠HDF，∴△DMB∽△DHF.∴DMDH＝DBDF，即3DH＝106.解得DH＝9105.