反比例函数-能力培优

1.1反比例函数专题反比例函数的意义1．当m为何值时,函数mxmy2)3(是反比例函数?当m为何值时,此函数是正比例函数?2．若y+1与x成反比例，当y=1时，21x.求（1）y与x的函数关系式；（2）当x=3时，y的值.3．将1L的水装入底面积是S(㎝2)的圆柱形玻璃杯中,水面的高度是h(㎝).(1)用含有S的代数式表示h;(2)利用写出的关系式完成下表:(3)观察上表,当S越来越大时,h变化情况如何?(4)变量h是S的反比例函数吗?为什么?4.用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升）．如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1．5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；（2）当洗衣粉的残留量降至0．5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？1.2反比例函数的图象与性质专题一一次函数和反比例函数的综合题1.如图，直线y=x+2与双曲线y=xm3在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为（）2.若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=x1的图象没有公共点，则实数k的取值范围是.3.如图，在方格纸中建立平面直角坐标系，已知一次函数bxy1的图象与反比例函数xky2的图象相交于点A（5，1）和1A.（1）求这两个函数的关系式；（2）由反比例函数xky2的图象的特征可知：点A和1A关于直线xy对称.请你根据图象，填写点1A的坐标及21yy时x的取值范围.S(㎝2)50100150300h(㎝)4.如图，已知反比例函数)0(kxky的图象经过点（21，8），直线bxy经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．(1)求上述反比例函数和直线的函数解析式；(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP，OQ，求△OPQ的面积．5.如图所示，点A，B在反比例函数y=的图象上，且点A，B的横坐标分别为a,2a（a0），AC⊥x轴于点C，且△AOC的面积为2．（1）求该反比例函数的解析式;（2）若点（-a，y1）、（-2a，y2）在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小;（3）求△AOB的面积．专题二反比例函数与几何图形的综合应用6.如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线xky交于A（3，320）、B（-5，a）两点.AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E.（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由.7.如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知A（-2，0）,B（6，0）,D（0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求点C点坐标和反比例函数的解析式；（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值.kx1.3反比例函数的应用专题反比例函数的实际应用1.一新建储水池工程需要运送的土石方总量为4×104m3，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务.(1)运输公司平均每天的工作量v（m3／天）与完成运送任务所需的时间t（天）之间有怎样的函数关系？(2)运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运土石方100m3，则需要多少天才能完成该任务？(3)当公司以问题（2）中的速度进行到8天后，由于进度需要，剩下的运输任务必须提前4天完成，那么公司至少需要再增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？2.水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售价x(元/千克)400250240200150125120销售量y(千克)304048608096100观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系．(1)写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；(2)在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？【知识要点】1．能够从生活实际问题中建立反比例函数的模型，领会反比例函数的意义.2．理解反比例函数的概念.能够应用待定系数法求反比例函数的解析式.【温馨提示】反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数←→)0(kxky←→)0(1kkxy←→)0(kkxy←→变量y与x成反比例，比例系数为k.【方法技巧】判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值即kxy.（通常第二种方法更适用）参考答案1.解：3021mm，所以当3m时，此函数是反比例函数；当21m，即11mm或时，函数是正比例函数2.解：（1）设y+1=xk（k≠0）,则k=1,所以y=11x；（2）32y.3.解：（1）Sh1000；（2）（3）当S越来越大时,h越来越小；（4）变量h是S的反比例函数，Sh1000.h(㎝)20102031034.解：（1）设小红的函数关系式为11kyx，小敏的函数关系式为22kyx，把111,1.5xy和221,2xy分别代入两个关系式得11.51k，221k，解得121.5,2kk．所以小红的函数关系式为11.5yx，小敏的函数关系式为22yx（x为正整数）.（2）把0.5y分别代入两个关系式得130.52x，220.5x，123,4xx．10330（升），5420（升）.答：小红共用水30升，小敏共用水20升，小敏的方法更值得提倡．参考答案1.B【解析】因双曲线y=xm3在第二，四象限，则03m，故3m；由直线y=x+2与双曲线y=xm3在第二象限有两个交点，可得x+2=xm3，0)3(22mxx，即0)3(44m，所以2m，综合得32m.2.k-41【解析】因为反比例函数xy1的图象在第一、三象限，故一次函数1kxy中，k＜0，解方程组xykxy11，得012xkx，当直线与双曲线无公共点时，,041,0k即解得41k．3.解：（1）点A（5，1）是一次函数bxy1图象与反比例函数xky2图象的交点，∴,15,15kb∴5,6kb，∴61xy，xy52.（2）由函数图象可知：1A（1，5）；当10x或5x时，21yy.4.解：（1）由反比例函数的图象经过点（21，8），可知4821yxk，所以反比例函数的解析式为xy4.∵点Q是反比例函数和直线bxy的交点，∴144m，∴点Q的坐标是（4，1），∴514yxb，∴直线的解析式为5xy.（2）如图所示：由直线的解析式5xy可知与x轴和y轴的交点A与点B的坐标分别为（5，0），（0，5），由反比例函数与直线的解析式可知两个图象的交点坐标分别为点P（1，4）和点Q（4，1），过点P作PC⊥y轴，垂足为C，过点Q作QD⊥x轴，垂足为D，∴S△OPQ=S△AOB-S△OAQ-S△OBP=21×OA×OB-21×OA×QD-21×OB×PC=212121×5×1=215.5.解：（1）∵A点在反比例函数的图象上，∴设点A的坐标为A（，）.由，得，即.∴所求反比例函数的解析式为.（2）∵，∴.∵点（-a，y1）,（-2a，y2）在反比例函数的图象上，且都在第三象限的分支上，而该函数图象在第三象限随的增大而减小，.（3）作BD⊥轴，垂足为点D.∵B点在反比例函数的图象上，∴B点的坐标为（，），∴.6.解:（1）∵双曲线xky过点A（3，320），∴20k.把B的点坐标（-5，a）代入xy20,得4a.∴点B的坐标是（-5，-4）.设直线AB的解析式为nmxy，将A（3，320），B（-5，-4）代入得，nmnm543320，解得38,34nm.∴直线AB的解析式为3834xy.（2）四边形CBED是菱形.理由如下:点D的坐标是（3,0），点C的坐标是（-2,0）.xkyaak221ACOCSOAC221aka4kxy40a02aaxy4yx21yyxxy4a2a24324221)2)(244(212aaaaaaSSSBODOABDAOB四边形∵BE∥x轴，∴点E的坐标是（0,-4）.而CD=5，BE=5，且BE∥CD.∴四边形CBED是平行四边形.在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2，∴ED＝2243＝5，∴ED＝CD.∴平行四边形CBED是菱形.7.解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，DO=CE.∴△AOD≌△BEC（HL）.∴AO=BE=2.∵BO=6，∴DC=OE=4，∴C点坐标（4，3）.设反比例函数的解析式为xky（k≠0），∵反比例函数的图象经过点C，∴43k，解得k=12；∴反比例函数的解析式为xy12.（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后得到梯形A′B′C′D′，∴点B′的坐标为（6，m）.∵点B′的坐标为（6，m）恰好落在双曲线xy12上，∴当x=6时，.2612m即m=2.参考答案1.解：（1）每天的工作量v与所需时间t成反比例函数关系tv4104.（2）100201044t，解得t=20天.（3）设至少需要再增派x辆同样的卡车才能按时完成任务,(x+20)×100×(20-4-8)+20×100×8=4×104.解得x=10.答：至少需要再增派10辆同样的卡车才能按时完成任务.2.解：(1)y关于x的函数解析式为．填表如下：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售价x(元/千克)400300250240200150125120销售量y(千克)30404850608096100(2)2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600，即8天试销后，余下的海产品还有1600千克．当x=150时，=80．1600÷80=20，所以余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出．12000yx12000150y