数列知识点梳理

数数列列知知识识点点梳梳理理一一、、数数列列的的相相关关概概念念(一)数列的概念1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321naaaa简记na.2．数列na的第n项na与项数n的关系若用一个公式)(nfan给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。3．数列可以看做定义域为N（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。(二)数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。(三)数列的分类1．按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。2．按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。3．从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。递增数列的判断：比较f(n+1)与f(n)的大小（作差或作商）(四)数列通项na与前n项和nS的关系1．niinnaaaaaS13212．2111nSSnSannn二、等差数列的相关知识点1．定义：)2()()()(11nNndaaNndaannnn且常数或常数。当d0时，递增数列，d0时，递减数列，d=0时，常数数列。2．通项公式：dnaan)1(1dmnam)(qpndadn)(1d=11naan，d=mnaamn是点列（n，an）所在直线的斜率.3．前n项的和：dnnnaaanSnn2)1(2)(1121()22ddnanBnAn2{nSn}是等差数列。4．等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c5、等差数列的判定方法(n∈N*)(1)定义法:an+1-an=d是常数(2)等差中项法:212nnnaaa(3)通项法:qpnan(4)前n项和法:BnAnSn26．性质:设{an}是等差数列，公差为d,则(1)m+n=p+q,则am+an=ap+aq特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa(2)an,an+m,an+2m……组成公差为md的等差数列.(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……组成公差为n2d的等差数列.(4)若{}na、{}nb是等差数列，则{}nka、{}nnkapb(k、p是非零常数)、*{}(,)pnqapqN均是等差数列，公差分别为：(5)若等差数列{}na、{}nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAfnB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.如设{na}与{nb}是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，那么nnba___________，77ba__________（6）nS的最值：法1、可求二次函数2nSanbn的最值；法2、求出na中的正、负分界项，即：当100ad，，解不等式组100nnaa可得nS达到最大值时的n值.当100ad，，由100nnaa可得nS达到最小值时的n值.例：若{}na是等差数列，首项10,a200320040aa，200320040aa，则使前n项和0nS成立的最大正整数n是（答：4006）7．nnSanda,,,,1知三求二,可考虑统一转化为两个基本量da,1;或利用数列性质,8、巧设元：三数:daada,,,四数：dadadada3,,,39、项数为偶数n2的等差数列na，有ndSS奇偶，1nnaaSS偶奇，项数为奇数12n的等差数列na，有)()12(12为中间项nnnaanS，naSS偶奇，1nnSS偶奇.例、项数为奇数的等差数列{}na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.),)(()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanS10、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab.三、等比数列的相关知识点（类比等差数列）1、定义：1nnaqa（q为常数，0qNnan,0,）或时，常数数列当时，摆动数列当时，递减数列且；且当时，递增数列且；且当1q0q10100100101111qaqaqaqa2、通项公式：11nnqaa=（0,1qa）mnmnqaa=3、前n项和：11(1)1(1)1nnnaqSaqqq（要注意q的讨论）AAqn（q1）4、等比中项：xGy、、成等比数列2Gxy，或Gxy.只有同号两数才存在等比中项，且有两个，如已知两个正数,()abab的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______5、等比数列的判定方法(n∈N*)(1)定义法:an+1/an=q是常数(2)等比中项法:221nnnaaa(3)通项法:nncqa(qc,为非零常数).(4)前n项和法:AAqSnn6、性质：na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa··特别地，当2mnp时，则有2.pnmaaa例：在等比数列{}na中，3847124,512aaaa，公比q是整数，则10a=___（答：512）；各项均为正数的等比数列{}na中，若569aa，则3132310logloglogaaa（答：10）。（2）an,an+m,an+2m……组成公比为的等比数列.（3）232nnnnnSSSSS，，……)0(nS仍为等比数列,公比为nq.例、在等比数列}{na中，nS为其前n项和，若140,1330101030SSSS，则20S的值为______（答：40）（4）若{}na是等比数列，则{||}na、{}nka成等比数列；若{}{}nnab、成等比数列，则{}nnab、{}nnab成等比数列；公比分别为：7．nnSanda,,,,1知三求二,可考虑统一转化为两个基本量da,1;或利用数列性质,8、巧设元：三数:daada,,/,四数：dadadada3,.,/,3/9．、非零．．．常数．．列既是等比数列，又是等差数列.故常数数列{}na是此数列既成等差数列又成等比数列的条件.例、设数列na的前n项和为nS（Nn），关于数列na有下列三个命题：①若)(1Nnaann，则na既是等差数列又是等比数列；②若RbanbnaSn、2，则na是等差数列；③若nnS11，则na是等比数列。这些命题中，真命题的序号是10、正数列{na}成等比，则数列)1}({logaana成等差数列；若数列{na}成等差，则数列}{naa成等比数列；例、已知0a且1a，设数列{}nx满足1log1logananxx(*)nN，且12100100xxx，则101102200xxx.（答：100100a）11、在等比数列{}na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶.12.会从函数角度理解和处理数列问题.四、求通项1、等差、等比数列公式法；2、形如an+1-an=f(n)形式，求法：累加法；3、形如an+1=an·f(n),求法：累乘法；4、形如an+1=Aan+B(AB≠0),求法：构造法例、已知111,32nnaaa，求na；已知nnnaaa22,111求na5、形如aannnmka1(k≠0)形式，求法：m=1时求倒数；另外可能周期数列或构造法例：已知1111,31nnnaaaa，求na（答：132nan）；已知数列满足1a=1，11nnnnaaaa，求na（答：21nan）6、已知Sn,求an，求法：阶差法.即利用公式an=)2(,)1(,11nnsssnn注意：一定不要忘记对n取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n2的关系式，从而决定能否将其合并。例、已知{}na的前n项和满足2log(1)1nSn，求na（答：3,12,2nnnan）；数列{}na满足12211125222nnaaan，求na（答：114,12,2nnnan）7、已知12()naaafn求na，用作商法(1),(1)(),(2)(1)nfnfnanfn.例、数列}{na中，,11a对所有的2n都有2321naaaan，则53aa______（6116）五、数列求和的常用方法：1、公式法：（等差、等比数列直接用公式）常用公式：①1+2+3…+n=21nn②61213212222nnnn③2213213333nnn例、等比数列{}na的前n项和Sｎ＝2ｎ－１，则2232221naaaa＝_____（答：413n）；2、等差数列的绝对值的和（已知等差数列前n项和为nS）①当a10,d0时，若ak≥0,ak+10,则:S=|a1|+|a2|+……|ak|+|ak+1|+……|an|=②当a10,d0时，若ak≤0,ak+10,则:S=|a1|+|a2|+……|ak|+|ak+1|+……|an|=3、分组求和法：例、求数列,3219,1617,815,413的前n项和4、并项求和法例、1357(1)(21)nnSn（答：(1)nn）5、倒序相加法：例、求证：01235(21)(1)2nnnnnnCCCnCn已知22()1xfxx，则111(1)(2)(3)(4)()()()234fffffff＝______6、裂项相消求和,常见类型①111(1)1nnnn；②1111()()nnkknnk；③)121121(21)12)(12(1nnnn④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn；⑤)(11nknknkn例、求和：1111447(32)(31)nn（答：31nn）；在数列{}na中，11nnan，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）7、错位相减法:适用于nnba其中{na}是等差数列，nb是各项不为0的等比数列。例、{}na为等比数列，121(1)2nnnTnanaaa，已知11T，24T，①求数列{}na的首项和公比；②求数列{}nT的通项公式.（答：①11a，2q；②122nnTn）；8、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再以上求和法求和。例、求和：111112123123n（答：21nn）六、等比数列的前n项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为r1.其中第n年产量为1)1(nra，且过n年后总产量为：.)1(1])1([)1(...)1()1(12rraarararaann⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为nra)1(元.因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112rararara=)1(1])1(1)[1(12rrra.⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.1111111......11121mmmmmmm