概率论第二章

第一节随机变量第二节离散型随机变量的概率分布第三节随机变量的分布函数第四节连续型随机变量的概率密度第五节随机变量函数的分布第二章随机变量及其分布动机：将随机试验的结果数量化例1抛一枚硬币，观察正反面的出现情况，TeHeeXX,0,1)(TH,，如果我们引入记号：显然，该试验有两个可能的结果：第一节随机变量则，我们就可以用}1{X表示出现的是正面，而用}0{X表示出现的是反面。就是一个随机变量。X定义设随机试验E的样本空间为},{eS如果对于每一个,Se都有一个实数)(eX与其对应，这样就得到一个定义在S上的一个单值实函数),(eXX我们称该函数为随机变量。一般的，随机变量用英文字母表后面的大写字母或者希腊字母（可以带下标）表示。如,,,51,,,,,iYXZYX等，都可以表示随机变量。引入随机变量以后,随机事件就可以用随机变量在某范围的取值来表示.随机变量的取值随试验的结果而定,因此试验之前,我们只知道它可能取值的范围,而不能预知它取什么值,由于试验的各个结果的出现有一定的概率,因此随机变量取各个值也有一定的概率.如果我们用X表示某台电视机的寿命,并且规定寿命超过10000小时者为合格品,则该电视机为合格品这一事件就可以表示为}10000{X如果用X表示某位同学大学英语四级考试的成绩,则}60{X表示“该同学通过考试”这一事件，而}85{X表示“该同学成绩优秀”这一事件.第二节离散型随机变量及其分布律如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值，则称随机变量X为离散型随机变量.对于离散型随机变量，关键是要确定：1）所有可能的取值是什么？2）取任意可能值的概率是多少？设随机变量X的可能取值为,,,,21kxxx，且kkpxXP}{,2,1k（1）则称（1）式为X的概率分布或分布律.分布律（1）也常常写成如下的表格形式.显然有：1)2;0)11kkkppXkp1x2xkx1p2pkp或者也可以表示为kkpppxxxX2121~例1掷一颗匀称的骰子，以表示出现的点数，求的分布律.XX解的可能取值为X,6,5,4,3,2,1而由等可能性，它取每一个值的概率均为1/6，故其分布律为6,5,4,3,2,1,61}{kkXP例２设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏灯,每盏信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过,以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数（设各盏信号灯的工作是相互独立的），求其分布律。解以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布律为432)1()1()1()1(43210~ppppppppX5.0p将代入，得0625.00625.0125.025.05.043210~X下面，重点介绍三种离散型随机变量的概率分布。（一）0-1分布若X的分布律为1,0,)1(}{1kppkXPkk或者01Xkpp1p则称随机变量服从参数为p的0-1分布.X如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功的概率为p，则成功的次数服从参数为p的0-1分布。X（二）二项分布(BinomialDistribution)若随机变量X的分布律为：nkppCkXPknkkn,,2,1,0,)1(}{则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中成功的概率均为p，则在n重伯努利试验中成功的次数服从参数为n,p的二项分布。注意，当n=1时二项分布就是0-1分布。),(~pnBX记为或),(~pnbX例3设某批产品共有N件，其中有M件次品。按如下两种方式从中任选n件产品:(1)一次次从中取出产品，每次取一件，并在观察后放回;(2)从中一次性地任选n件。设取得的次品数为，试分别就所述的两种情形，求的分布律。XX解(1)由于是有放回的抽取，所以每次抽取时抽到一件次品的概率均为M/N，所以故有nkNMNMCkXPknkkn,,2,1,0,1}{),/,(~NMnBX(2)在N件产品中任选n件，所有可能的取法有nNC种，而其中恰好有k件次品的取法共有knMNkMCC种，所以有此时我们称X服从超几何分布。nkCCCkXPnNknMNkM,,2,1,0,}{例4某人进行射击，设每次击中的概率均为0.02,独立射击400次，试求至少击中两次的概率。解将每次射击看成是一次试验,设击中的次数为X，则)02.0,400(~BX所以有}1{}0{1}2{XPXPXP399400)98.0)(02.0(400)98.0(1直接计算上式比较麻烦，为此需要一个近似计算公式。我们先引入一个重要的分布。(三)泊松分布(PoissonDistribution)如果随机变量X的分布律为：,2,1,0,!}{kekkXPk则称随机变量X服从参数为的泊松分布。记为)(~PX实例：1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服从参数为0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之间每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从参数为0.69的泊松分布。泊松分布与二项分布之间有密切的联系，这一点由下面的泊松定理所阐述。泊松定理设随机变量),(~nnpnBX),10(np且,limnnnp则有ekkXPknn!}{lim证略因此,由定理,当n很大p很小时，就有ekppCkknkkn!)1()(np泊松定理表明,当n很大(不小于20)p很小(不大于0.05)时,二项分布可近似的用泊松分布来表示.这实际上也就表明了大量实验中稀有事件发生的次数可以用泊松分布来描述.而泊松分布的值可以通过查表得到.续例4现在我们运用泊松定理来做近似计算,由于此时,02.0,400pn故8np,于是888}1{,}0{eXPeXP因此997.081}2{88eeXP该例题表明,即使是一个命中率很低的射手,在大量的射击中至少击中两次或两次以上概率还是很大的.因此在大数次的试验中,不能忽略小概率事件.例5为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人(工人配备多了浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型的设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情形),问至少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解设需配备N人,记同一时刻发生故障的设备台数为X,则X~B(300,0.01).所需解决的问题是确定最小的N,使得由泊松定理)3(npNkkkeNXP03!3}{99.0}{NXP(1)于是(1)式化为99.0!303Nkkke经查表计算知,满足上式最小的N是8.因此,为达到上述要求,至少需配备8个工人.例6设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台机器的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由4人维修,每人负责20台;其二是由3人共同维修80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解先考虑第一种方法以X表示第一个人维护的20台机器中同一时刻发生故障的台数,则X~B(20,0.01).于是,第一个人来不及维修的概率为}1{}0{1}2{XPXPXP}1{}0{1}2{XPXPXP0169.0)99.0)(01.0(20)99.0(11920设A为“四个人中至少有一个人来不及维修”这一事件，则有0169.0}2{)(XPAP以Y表示3个人共同维护的80台机器中同一时刻发生故障的台数,则Y~B(80,0.01).于是他们来不及维修的概率为}3{1}4{YPYP)(0087.0e!81830APkkk)(np按第二种方法效率更高！例6社会上定期发行某种奖券,中奖率为p.某人每次购买一张奖券,如果没有中奖则下次继续购买1张,直至中奖为止.求该人购买次数的分布律.解设该人购买的次数为X,则X的可能取值为.,2,1}1{X表示第一次购买就中奖,其概率为p.}2{X表示购买两次奖券,但第一次未中奖,其概率为1-p,而第二次中奖,其概率为p.由独立性知,有ppXP)1(}2{,2,1)1(}{,1kppkXPk(1)一般的,如果某随机变量的分布律具有(1)的形式,则称该随机变量服从参数为p的几何分布.}{kX表示共购买了k次奖券,其中前k-1次都未中奖,而第k次中奖,因此有ppkXPk1)1(}{因此,购买次数的分布律为X第三节随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量,x是任意实数,函数}{)(xXPxF称为X的分布函数.若已知随机变量X的分布函数,则我们就可以确定X落在任一子区间],(21xx上的概率:}{}{}{1221xXPxXPxXxP)()(12xFxF分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性.如果将X看成是数轴上随机点的坐标,则)(xF就是X落在区间],(x上的概率.)()(}{1221xFxFxXxP即有因此可以认为分布函数F(x)的基本性质1)F(x)是一个单调不减的函数.2)1)(0xF且0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFx3)F(x)是右连续的,即)()0(xFxF,0}{)()(2112xXxPxFxF)(21xx事实上,例1设随机变量X的分布律为Xkp-123412141求X的分布函数,并求},21{XP}32{XP解由概率的可加性,得所求的分布函数为3,41214132,214121,411,0}{)(xxxxxXPxF3,132,4/321,4/11,0)(xxxxxF即4321431}2{)2()3(}32{XPFFXP4121}21{FXP又xy-1231F(x)的图形如图所示为一阶梯形曲线,它在X可能的取值处-1,2,3处发生跳跃，跳跃值为X取该值的概率.一般,设离散型随机变量X的分布律为kkpxXP}{,2,1k则由概率的可加性可得分布函数为xxkxxkkkpxXPxXPxF}{}{)(这里和式是对所有满足的k求和.F(x)在处发生跳跃，其跳跃值为}.{kkxXPpkxxxxk离散型随机变量的分布函数不是连续函数，并且常见的离散型分布的分布函数都是阶梯函数。例2向半径为R的圆形靶射击，击中点落在以靶心O为中心,x为半径的圆内的概率与该圆的面积成正比，并且不会发生脱靶的情况.以表示击中点与靶心O之间的距离，求的分布函数.XX解显然，当0x时，有0}{)(xXPxF又由题意，当Rx时，1}{)(xXPxF当Rx0时,按题意,有22)(RxxFORXx从而RxRxRxxxF,10,0,0)(22注意,此分布函数为一连续函数.因此,存在着与离散型随机变量不同的另一种随机变量.2)(kxxF由于1)(RF故21Rk于是下面我们来分析一下这一类随机变量的一些特征.为此,令其它,00,2)(2RtRttf则有xdttfxF)()(这就是说,该例中的分布函数可以表示为某一非负函数在],(x上的积分.这不是偶然的.事实上,它是一大类随机变量的分布函数所具有的共同特征,这一类随机变量就是我们下面要讲的连续型随机变量.第四节连续型随机变量的概率密度一.概率密度及其性质定义如果随机变量X的分布函数可表示成xdttfxF)()(其中)(tf为非负的函数,则称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数,简称为概率密度或密度.记作)(~xfX概率密度具