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1 等离子体物理学讲义No. 4 马石庄 2012．02．29．北京 2 第4讲 动理学理论和矩方程 教学目的：学习从动理学方程建立等离子体宏观模型的方法，建立粒子轨道与等离子体整体行为之间的联系，熟悉双流体模型的基本特征，从等离子体的广义Ohm定律认识磁化等离子体的各向异性。 主要内容： §1 分布函数 ............................................................................................ 4 1.1 Maxwell分布 ............................................................................... 5 1.2 动理学方程 ................................................................................. 9 1.3 速度矩 ....................................................................................... 13 §2 流体模型方程 .................................................................................. 17 2.1 双流体方程 ............................................................................... 17 2.2磁流体模型 ................................................................................ 22 2. 3流体漂移 ................................................................................... 27 §3 等离子体输运 .................................................................................. 31 3.1 BGK方程 .................................................................................... 32 3.2 双极扩散 ................................................................................... 38 3.2 经典扩散 ................................................................................... 40 习题4 ..................................................................................................... 42 3 在等离子体中，实际情形要比粒子轨道理论描述的复杂得多。电场和磁场不能事先给定，而应由带电粒子本身的位置和运动来确定，必须解一个自洽问题（self‐consistent problem），寻找这样一组随时间变化的粒子轨道和场，使得粒子沿着它们的轨道运动时产生场，而场使粒子在它们的确切轨道上运动。 典型等离子体密度可以达到每立方米包含1010个离子—电子对．每个粒子都遵循一条复杂的轨道，跟踪每一条轨道导出等离子体的行为将是一个无望的工作，幸好这通常是不必要的。出人意外的是，一个看似粗糙的模型能解释实际实验中所观察到的80%的等离子体现象，这就是流体力学的连续介质模型，它忽略了个别粒子的本性，而只考虑流体质点的运动，粒子间的频繁碰撞使得流体质点中的粒子一起运动．在等离子体情形中，流体还要包含电荷，这样一个模型适用于一般不发生频繁碰撞的等离子体。 流体模型能用于等离子体的一个原因是：在某种意义上磁场起到了碰撞的作用．例如，当粒子被电场加速时，如果许可粒子自由流动，就会连续地增加速度．当存在频繁的碰撞时，粒子就达到一个与电场成正比的极限速度，磁场通过使粒子以Larmor轨道回旋，能限制粒子自由流动．等离子体中的电子也以正比于电场的速度一起漂移．在这个意义上，一个无碰撞等离子体的行为类似于一个有碰撞流体．当然，粒子可以沿着磁场方向自由运动，流体模型对此并不特别合适．对于垂立于磁场的运动，流体理论是一种很好的近似． 4 §1 分布函数 统计力学引入粒子的分布函数，，描述大量粒子组成的体系。在相空间，中，分布函数，，的意义是 ，，dd 是粒子空间位置在~，运动速度为~的数目，显然有 ，，dd 和 ，，d， 其中特别注意，积分号出现的d和d分别是位移空间和速度空间的体积元。是系统的粒子总数，，是粒子数密度，即单位体积中的粒子数。如果粒子的质量为，则粒子的质量密度或体密度为 ，， 因为等离子体中包含多种带电粒子，至少一种以上的正电荷离子和带负电荷的电子，所以要将分布函数加以区别，必须对每个种类考虑其分布函数，设类粒子的分布函数为，，，这种处理称为动理学理论1（kinetic theory）．一般地可以对函数，定义速度矩 ，，d，，d1，，，d 其中尖括号 · 表明对速度分布求平均。理论上，函数是任意的， 1 Kinetic原译为“运动的”，有鉴于“动力的”，前者与kinematic混淆，后者与 dynamic混淆，2002年中国物理学会物理名词委员会协商，将Kinetic译为“动理的”。于是，kinetic theory of gases 原定名为“分子运动论”更名为“分子动理学理论”。 5 可以是标量，矢量，也可以是张量。 1.1 Maxwell分布 统计力学证明，达到热力学平衡的系统满足一个特别重要的分布函数，Maxwell分布 2/exp 其中 ，2 用定积分 expd√ 很容易证明对ddd的积分为． 服从Maxwell分布有几种常用的平均速度．均方根速度为 /3/ 平均速度大小可按下式求出： ||1||d 由于是各向同性的，在空间，用球坐标很容易作出积分．因为每个球壳的体积元是4，得到 ||2/exp4d4/expd2√ 其中1/2在单它的向同零 |方括从假概括 是中用分部2．这样 |单个方向的平均就同性分布|1括号里面。这样得假想平面括地说，对3 对于类似||的积分求出|22的速度分有所不同等于零||ex的二个积得到 |的一边穿对于Max3，似麦克斯函数 出定积分的2 分量，譬如同．当然，，但是|d2p积分分别都||穿越到另一12xwell分布||2斯韦的各向6 的值为如说，对各|不为d都等于√/＝一边的无规||布而言，2，向同性分布2||exexp，昀后＝2规则运动通14||||＝布，能定义xpd 后一个积分/ 通量为 2/义另一个函d 分简单，值，函数，值为0 它 对于这是维来表如果一维面的定峰值交线将给初步于Maxwe是普通物理Maxwell0却是零表示果不减少维维系统中的交线是速的粒子密值的曲线应线：它们给出的拓步观念是很ell分布，理热学中分布零．这恰好；但是维数，要在，，速度分布密度分布应当表示是水平曲拓扑映射图很有用的可以看到42给出的M之间的差好是0与其宗量在给定时能被描布．这布．如果所示密度分布曲线成常图．这样的。 7 到 2/Maxwell分差别．虽然0处相空间量和时间绘制出描述为一个这个曲面和所有曲线布．图中的曲线．这的图对于dexp分布形式。然在间体积为零与其宗量出，个曲面．这和常碰巧的虚线是曲这些曲线在获得等离 下图说明0是极零的结果．量的函数关的图是不这个曲面和常数平面的巧有相同的曲面和在平离子体具有明了和极大，有时用关系是不同 不可能的．和常数的交线给出的形状，通常数平面平面上的投有怎样行为和一在同的． 在数平出给通过面的投影为的 点的形图．且则圆．圆等个在字命 如果考的，则式的有关．例如如果对，，．各问异性等值线．一在方向传Irving 命名的静考虑在空间则能得到另关的等果运动是二是各向同的等值线性的分布会一个漂移传播的粒子Langmui电探针，发间给定另一种等值线二维的，同性的，线将是会有椭Maxwell子束应当作ir的经验观发现电子分8 分布会有作为一个独观察支持分布函数有偏离原点独立的尖持了流体理数比起碰撞点的圆周等尖峰而显示理论，他用撞率所能说等值线，而示出来． 用了以他的说明的分布而一 的名布大9 大接近Maxwell分布．这个现象称作Langmuir佯谬。这个现象迄今并没有得到令人满意的解决。 1.2 动理学方程 考虑在6维，空间运动的粒子，分布函数随时间的变化由两种原因：一是粒子运动引起的，即由粒子受到外部长程力作用引起的运动；二是粒子之间相互作用（碰撞）引起的。设在时间，空间位置在~，运动速度为~的位于相空间体积元中的粒子数目为 ，，dd 经过时间后，原来处于相体积元中的粒子，因粒子运动或外场作用全部进入对应的相体积元，粒子数目是不变的 ，，dd，，dd 其中，，，dd表示在时刻，空间位置在~，运动速度为~的位于相空间体积元dd中的粒子数目，且有 ， 与此同时，在时间~内，因为粒子相互作用（碰撞），使得一部分粒子进入新相体积元dd，而另一部分粒子离开旧相体积元dd，两相抵扣为因为碰撞作用进入新相体积元dd的净粒子数目 dd 10 考虑粒子运动和碰撞引起的分布函数变化 ，，dd，，dddd 在这个过程中，相体积元发生变形，新旧相体积元的关系为 dddd 由于 ，，1·· 有 dd1··dd 符号代表空间的梯度， 代表速度空间的梯度。如通常用法一样，在直角坐标系中 和 11 既然与都是独立变数，因此·0；在非相对论条件下 ·0 这就意味相空间体积元不变 1，即 dddd 考虑粒子运动和碰撞引起的分布函数变化，将，，对作Taylor展开 ，，，， ，，·· 不考虑碰撞作用时，相体积元变化粒子数不变，因此 ，，dd ，，··dd 保留一阶近似和相体积元体积不变 ··dddd 因为相体积元dd的任意性，得到 ·· 此即关于粒子分布函数演化的支配方程，称为动理学方程，在1872年由L. E. Boltzmann首先提出，也称为Boltzmann方程。 12 因为等离子体中包含多种粒子，不妨设为种，那么描写这个粒子体系的相空间是6维的 ，，1，2,， 对于第种粒子的分布函数，，在相空间中演化的动理学方程为 ·· 其中，表示第种粒子所受的外力场，包括外场和等离子体内部的平均场（自洽场），而碰撞作用项为 , 表示因碰撞引起的单位时间内第种粒子的净增加数，是各类粒子碰撞作用的总和，也包括同类粒子之间的碰撞。特别需要指出的是，碰撞项依模型或近似方法不同而不同，既可以是积分算子，也可以是微分算子，统称为碰撞算子。 在足够热的等离子体中，因碰撞引起的单位时间内第种粒子的数目保持恒定，则碰撞可以忽略．而且，如果完全是电磁力，则动理学方程取下面的特殊形式 ··0 这个方程称为Vlasov方程。1938年，Anatoly Vlasov（1908－1975）引入的。对于电子和离子而言，分布函数和分别满足，加上求平均后的Maxwell方程，形成耦合方程组，这样确定的电场和磁场称为13 自洽场。 1.3 速度矩 在等离子体物理中，研究的是宏观平均物理量而不