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第1页（共21页）2015-2016学年青海省海东市平安一中高三（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣6B．13C．D．2．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁UM=（）A．UB．{1，3，5}C．{3，5，6}D．{2，4，6}3．等差数列{an}中，a4+a10+a16=30，则a18﹣2a14的值为（）A．﹣20B．﹣10C．10D．204．已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=（）A．B．C．D．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．16．若一条直线与一个平面成72°角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（）A．72°B．90°C．108°D．180°7．已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．20B．18C．16D．98．函数y=x+cosx的大致图象是（）第2页（共21页）A．B．C．D．9．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42B．0.28C．0.3D．0.710．如图所示的程序框图输出的结果是S=720，则判断框内应填的条件是（）A．i≤7B．i＞7C．i≤9D．i＞911．椭圆M：的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1•PF2|最大值取值范围为[2c2，3c2]其中c=，则椭圆M的离心率为（）A．[，1）B．[，]C．[，1）D．[，）12．给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：第3页（共21页）①；②f（3.4）=﹣0.4；③；④y=f（x）的定义域为R，值域是；则其中真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知的展开式中x3的系数为，则常数a的值为______．14．设函数，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为______．15．在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为△ABC内一点，满足|OA|=|OB|=|OC|，则•的值是______．16．抛物线y=﹣x2上的动点M到两定点F（0，﹣1），E（1，﹣3）的距离之和的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+cos（+φ）（0＜φ＜π），其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点（）．（I）求ω和φ的值；（II）求函数y=f（2x），x∈[0，]的值域．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．（Ⅰ）求棱AA1的长；（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．19．一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，但取球次数最多不超过4次，求取球次数ξ的概率分布列及期望．第4页（共21页）20．已知椭圆：+=1（a＞b＞0），离心率为，焦点F1（0，﹣c），F2（0，c）过F1的直线交椭圆于M，N两点，且△F2MN的周长为4．（I）求椭圆方程；（II）与y轴不重合的直线l与y轴交于点P（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点A，B且=λ．若+λ=4，求m的取值范围．21．已知函数f（x）=x（a+lnx）有极小值﹣e﹣2．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若k∈Z，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．（I）求C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．第5页（共21页）2015-2016学年青海省海东市平安一中高三（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣6B．13C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a的值．【解答】解：由复数==是纯虚数，则，解得a=﹣6．故选A．2．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁UM=（）A．UB．{1，3，5}C．{3，5，6}D．{2，4，6}【考点】补集及其运算．【分析】直接利用补集的定义求出CUM．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁UM={3，5，6}，故选C．3．等差数列{an}中，a4+a10+a16=30，则a18﹣2a14的值为（）A．﹣20B．﹣10C．10D．20【考点】等差数列的性质．【分析】由已知中等差数列{an}中，a4+a10+a16=30，等差数列的性质，我们可以求出a10的值，根据等差数列的通项公式，我们即可求出a18﹣2a14的值．【解答】解：∵a4+a10+a16=30，∴3a10=30，∴a10=10，又∵a18﹣2a14=4d﹣a14=﹣a10=﹣10故选B第6页（共21页）4．已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正切．【分析】由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．【解答】解：由cosx=，x∈（﹣，0），得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，则tan2x===﹣．故选D5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选B．第7页（共21页）6．若一条直线与一个平面成72°角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（）A．72°B．90°C．108°D．180°【考点】直线与平面所成的角．【分析】由已知中一条直线与一个平面成72°角，根据线面夹角的性质﹣﹣最小角定理，我们可以求出这条直线与这个平面内不经过斜足的直线所成角的范围，进而求出其最大值．【解答】证明：已知AB是平面a的斜线，A是斜足，BC⊥平面a，C为垂足，则直线AC是斜线AB在平面a内的射影．设AD是平面a内的任一条直线，且BD⊥AD，垂足为D，又设AB与AD所成的角∠BAD，AB与AC所成的角为∠BAC．BC⊥平面amBD⊥AD由三垂线定理可得：DC⊥ACsin∠BAD=，sin∠BAC=在Rt△BCD中，BD＞BC，∠BAC，∠BAD是Rt△内的一个锐角所以∠BAC＜∠BAD．从上面的证明可知最小角定理，斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角，其中最大的角为90°，由已知中一条直线与一个平面成72°角，这条直线和这个平面内经过斜足的直线所成角的范围是：72°≤θ≤90°故选：B7．已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．20B．18C．16D．9【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用．【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由已知得=bccos∠BAC=2⇒bc=4，故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，故选B．第8页（共21页）8．函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化；函数的图象．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．故选：B．9．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42B．0.28C．0.3D．0.7【考点】互斥事件与对立事件．【分析】在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28，得到结果．【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选C．10．如图所示的程序框图输出的结果是S=720，则判断框内应填的条件是（）第9页（共21页）A．i≤7B．i＞7C．i≤9D．i＞9【考点】程序框图．【分析】根据程序输出的结果，得到满足条件的i的取值，即可得到结论．【解答】解：第一次运行，i=10，满足条件，S=10×1=10，i=9第二次运行，i=9，满足条件，S=10×9=90，i=8，第三次运行，i=8，满足条件，S=90×8=720，i=7，此时不满足条件，输出S=720，故条件应为，8，9，10满足，i=7不满足，故条件为：i＞7，故选：B．11．椭圆M：的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1•PF2|最大值取值范围为[2c2，3c2]其中c=，则椭圆M的离心率为（）A．[，1）B．[，]C．[，1）D．[，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，|PF1|•|PF2|的最大值为a2，则由题意知2c2≤a2≤3c2，由此能够导出椭圆m的离心率e的取值范围．【解答】解：∵|PF1|•|PF2|的最大值=a2，∴由题意知2c2≤a2≤3c2，∴c，∴．故椭圆m的离心率e的取值范围[，]．故选：B．第10页（共21页）12．给出定义：若（其中m为整数），则m叫做