江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考数学试题

-1-海安中学月考2方差公式2222121[()()()]nsxxxxxxnL，其中121()nxxxxnL．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{02}Axx，{1}Bxx，则ABI▲．2．复数(1)zii的共轭复数在复平面内对应的点位于第▲象限．3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60]内的汽车有▲辆．4．袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于▲．5．在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如下表，则这组样本的方差为▲．6．如右图所示的算法流程图中，最后输出值为▲．7．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面．①若m，m，则；②若m，n，，则mn；③若m，n，//，则//mn；④若//m，m，n，则//mn．上述命题中为真命题的是▲．（填写所有真命题的序号）．8.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为▲尺．（1匹=4丈，1丈=10尺）答对题数48910人数分布1121第6题图(第3题图)(第5题表)-2-9．若cos2cos()4，则tan()8▲．10．如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且2OA，4OC，5AC，则OBODuuuruuur▲．11．已知关于x的方程()1xxa在(2,)上有三个相异实根，则实数a的取值范围是▲．12．已知0,0ab，且111ab，则32baba的最小值等于▲．13．如图，已知8AC，B为AC的中点，分别以AB,AC为直径在AC的同侧作半圆，M,N分别为两半圆上的动点（不含端点ABC，，），且BMBN，则AMCN的最大值为▲．14．若关于x的不等式323+0xxaxb对任意的实数[1,3]x及任意的实数[2,4]b恒成立，则实数a的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且(1tan)(1tan)2AB．（1）求角C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．16．如图，在四面体ABCD中，ABACDBDC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且AFAC．（1）若EF//平面ABD，求实数的值；（2）求证：平面BCD平面AED．（第16题图）EABCDFBAOCD(第10题图)-3-17．如图，长方形材料ABCD中，已知23AB，4AD．点P为材料ABCD内部一点，PEAB于E,PFAD于F，且1PE，3PF．现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足150MPN，点M，N分别在边AB，AD上．（1）设FPN，试将四边形材料AMPN的面积S表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．18．已知椭圆E：2229xym（0m），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点,AB，线段AB的中点为M．（1）若3m，点K在椭圆E上，1F、2F分别为椭圆的两个焦点，求21KFKF的范围；（2）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（3）若l过点(,)3mm，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．θPADCBMNEF(第17题图)-4-19．已知函数()exfxa，()lnlngxxa，其中a为常数，且曲线()y=fx在其与y轴的交点处的切线记为1l，曲线()y=gx在其与x轴的交点处的切线记为2l，且12l//l．（1）求12，ll之间的距离；（2）若存在x使不等式()xmxfx成立，求实数m的取值范围；（3）对于函数()fx和()gx的公共定义域中的任意实数0x，称00|()()|fxgx的值为两函数在0x处的偏差．求证：函数()fx和()gx在其公共定义域内的所有偏差都大于2．20．设数列{}na的前n项和为nS，2+3nnSa，*Nn．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列{}nb满足：对于任意的*Nn，都有11213211=333nnnnnababababn成立．①求数列{}nb的通项公式；②设数列nnnc=ab，问：数列{}nc中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．-5-B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A2312，列向量yxX，74B，且BAX.（1）求矩阵A的逆矩阵1A；（2）求,xy的值．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知点P在曲线C：x＝4cosθy＝3sinθ（为参数）上，直线l：x＝3＋22t，y＝－3＋22t（t为参数），求P到直线l距离的最小值．22.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，CC1＝22，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上.（1）若A1M＝3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．23．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线yx42上有两个动点A、B，且满足FBAF,过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．（1）求：OAOB的值；（2）证明：ABFM为定值．-6-海安月考2答案一、填空题：1.(1,2)；2．四；；3．80；4．35；5．225；6．25；7．①④；8.1629；9．213；；10．52；11．5(,2)2；12．11；13．4；14．(,2)二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．（1）由(1tan)(1tan)2AB得tantan1tantanABAB，所以tantantan()11tantanABABAB，（4分）故△ABC中，AB，C（6分）（2）由正弦定理得2sinc，即2c，（8分）由余弦定理得2222cosabab，即2222abab，（10分）由222222abababab≥得22ab≤，（当且仅当ab时取等号）（12分）所以2113sin22Sab≤.（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．解：（1）因为EF∥平面ABD，易得EF平面ABC，平面ABC平面ABDAB，所以//EFAB，（5分）又点E是BC的中点，点F在线段AC上，所以点F为AC的中点，由AFAC得12；（7分）（2）因为ABACDBDC，点E是BC的中点，-7-所以BCAE，BCDE，（9分）又AEDEE，AEDE、平面AED，所以BC平面AED，（12分）而BC平面BCD，所以平面BCD平面AED．（14分）17．解：（1）在直角△NFP中，因为3PF，FPN，所以3tanNF，所以11(13tan)322NAPSNAPF．……………………………2分在直角△MEP中，因为1PE，π3EPM，所以πtan()3ME，所以11π[3tan()]1223AMPSAMPE．………………………………4分所以31πtantan()3223NAPAMPSSS，π[0,]3．…………6分（注：定义域错误扣1分）（2）因为31πtantan()3223S33tantan322(13tan)．…8分令13tant，由π[0,]3，得[1,4]t，所以23443433()23323ttSttt3433222333tt≥．………………12分当且仅当233t时，即23tan3时等号成立．………………13分此时，233AN，min323S．答：当233AN时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为323．…14分-8-18．解：（Ⅰ）3m，椭圆E：2219xy，两个焦点1(22,0)F，2(22,0)F设(,)Kxy，1(22,)FKxy，2(22,)FKxy，2221212=(22,)(22,)8=81KFKFFKFKxyxyxyy，∵11y，∴21KFKF的范围是[7,1]（4分）（2）设,AB的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy，则222112222299.，xymxym两式相减，得12121212()()9()()0xxxxyyyy，12121212()()190()()yyyyxxxx，即190OMlkk，故19OMlkk；（8分）（3）∵直线l过点(,)3mm，∴直线l不过原点且与椭圆E有两个交点的充要条件是0k且13k．设(,)PPPxy，设直线:()3mlykxm（0,0mk），即:3mlykxkm，由（2）的结论可知1:9OMyxk，代入椭圆方程得，2222991Pmkxk，（10分）由()3mykxm与19yxk，联立得222933,9191mkmkmkmMkk．（12分）若四边形OAPB为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以02Pxx，即22222293949191kmkmmkkk，整理得29810kk解得，47=9k．所以当47=9k时，四边形OAPB为平行四边形．（16分）19．解：（1）xfxae，1gxx，yfx的图像与坐标轴的交点为0,a，ygx的图像与坐标轴的交点为a,0，由题意得f0ga，即1aa又∵a0，∴a1.（2分）-9-∴xfxe，gxlnx，∴函数yfx和ygx的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：xy10,xy10∴两平行切线间的距离为2（4分）（2）由xmxfx得xxmxe，故xmxxe在x0,有解，令xhxxxe，则maxmhx。当x0时，m0；当x0时，∵xxx11hx1exe1xe2x2x，∵x0，∴x11x2x2,e12x2x，∴x1xe22x故x1hx1xe02x即xhxxxe在区间0,上单调递减，故maxhxh00，∴m0即实数m的取值范围为,0．（8分）（3）解法一：∵函数yfx和ygx的偏差为：xFxfxgxelnx，x0,∴x1Fxex