高中数学导数及导数的计算复习课件

第三章导数及其应用§3.1导数、导数的计算基础知识自主学习要点梳理1．函数)(xfy从1x到x0＋Δx的平均变化率已知函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，令Δx＝x－x0；Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，比值f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝ΔyΔx叫做函数y＝f(x)在x0在x0＋Δx之间的平均变化率．2．函数)(xfy在0xx处的导数(1)定义lim0xxxfxxf)()(00=lim0xxy为函数)(xfy在0xx处的导数，记作)(0'xf或'y|0xx，即)(0'xf＝lim0xxy为函数)(xfy在0xx处的导数，记作)(0'xf或'y|0xx，即)(0'xf＝lim0xxy＝lim0xxxfxxf)()(00(2)几何意义函数)(xf在点0x处的导数)(0'xf的几何意义是在曲线y＝)('xf上点处的切线的相应地，切线方程为.3．函数f(x)的导函数称函数)('xf＝lim0xxxfxxf)()(为)('xf的导函数，导函数有时也记作y′.斜率00,()xfx000'()()yyfxxx4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝____f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝_____f(x)＝sinxf′(x)＝______f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝____f(x)＝logaxf′(x)＝________________f(x)＝lnxf′(x)＝_____0nxn－1cosx－sinxaxlna(a0)ex1xlna(a0，且a≠1)1x5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．6．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)y′u·u′xy对uu对x[难点正本疑点清源]1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数)(xf在点0x处的导数)(0'xf是一个常数；(2)函数y＝)(xf的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝)(xf在区间(ba,)内每一点x都可导，是指对于区间(ba,)内的每一个确定的值0x都对应着一个确定的导数)(0'xf．这样就在开区间(ba,)内构成了一个新函数，就是函数)(xf的导函数)('xf．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线)(xfy“在点),(00yxp处的切线”“过点),(00yxp的切线”的区别与联系(1)曲线)(xfy在点),(00yxp处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线)(xfy过点),(00yxp的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．基础自测1．已知函数)(xf＝13－8x＋2x2，且)(0'xf＝4，则0x的值为________.解析)('xf＝－8＋22x，)(0'xf＝－8＋220x＝4，∴0x＝32.322．曲线y＝2x2在点(－1,2)处的切线方程为____________．4x＋y＋2=0解析∵y＝2x2，∴y′＝4x，y′|x＝－1＝－4.故在点(－1,2)处的切线方程为y－2＝－4(x＋1)，化简得4x＋y＋2＝0.3．已知)(xf＝x2＋3x'f(2)，则'f(2)＝________.－2解析由题意得'f(x)＝2x＋3'f(2)，∴'f(2)＝2×2＋3'f(2)，∴'f(2)＝－2.4．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝π2附的瞬时变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为()A．k1k2B．k1k2C．k1＝k2D．不确定A解析∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx，k1＝cos0＝1，k2＝cosπ2＝0，∴k1k2.5．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0B解析由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，∴f′(x)为奇函数．若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2点评注意到f(x)的导函数是一个奇函数．f′(－1)＝－f′(1)．题型分类深度剖析题型一利用导数的定义求函数的导数例1求函数12xy在0x到0x＋Δx之间的平均变化率．解∵Δy＝120xx－201x＝220022001111xxxxxx＝202200211xxxxxx，∴yx＝02200211xxxxx思维启迪：紧扣定义xf＝xxfxxf)()(00进行计算．探究提高求函数)(xf平均变化率的步骤：①求函数值的增量)()(12xfxff②计算平均变化率xf＝1212xx)f(x)f(x.解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了．变式训练1过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率，并求曲线在点P处切线的斜率．解∵Δy＝y(1＋x)－y(1)＝(1＋x)3－1＝3x＋3(x)2＋(x)3，∴割线PQ的斜率为xy＝2333xxxx＝3＋3x＋(x)2.∴当x＝0.1时，割线PQ的斜率为xy＝3＋3×0.1＋(0.1)2＝3.31，曲线在点P(1,1)处切线的斜率为lim0xxy＝lim0x[3＋3x＋(x)2]＝3.题型二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)y＝x（2311xxx）；(2)y＝x－sin2xcos2x；(3)y＝(x＋1)1(1)x.思维启迪：若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导．解(1)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(2)先使用三角公式进行化简，得y＝x－sinx2cosx2＝x－12sinx，∴y′＝x－12sinx′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.(3)先化简，y＝x1x－x＋1x－1＝－21x＋21x∴y′＝－1212x－1232x＝－12x1＋1x.探究提高①求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；②有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．变式训练2求下列函数的导数：(1)y＝(x－2)2；(2)y＝cosx2sinx2－cosx2；(3)y＝log2(ax3)．解(1)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝(x－4x＋4)′＝1－2x.(2)∵y＝cosx2sinx2－cosx2＝cosx2sinx2－cos2x2＝12sinx－12(1＋cosx)＝12(sinx－cosx)－12，∴y′＝12sinx－cosx－12′＝12(sinx－cosx)′＝12(cosx＋sinx)＝22sinx＋π4.(3)∵y＝log2(ax3)＝log2a＋3log2x，∴y′＝(log2a)′＋(3log2x)′＝3xln2.例3求下列复合函数的导数：(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝3－x；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．思维启迪：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆．解(1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5由y＝u5与u＝2x－3复合而成，∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.(2)设u＝3－x，则y＝3－x由y＝21u与u＝3－x复合而成．∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(21u)′(3－x)′＝1221u(－1)＝－1221u＝－123－x＝3－x2x－6.(3)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝4sin2x＋π3·cos2x＋π3＝2sin4x＋2π3.(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，∴y′＝12x＋5·(2x＋5)′＝22x＋5.探究提高由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．变式训练3求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)n(n∈N+)；(2)y＝x1＋x5.解(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.(2)y′＝5x1＋x4·x1＋x′＝5x1＋x4·1＋x－x1＋x2＝5x41＋x6.题型三导数的几何意义例4已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．思维启迪：函数y＝ax2＋bx＋c在点Q(2，－1)处的导数值等于切线斜率为1，且点Q(2，－1)、点P(1,1)都在抛物线上．解∵y′＝2ax＋b，∴抛物线在Q(2，－1)处的切线斜率为k＝y′|x＝2＝4a＋b.∴4a＋b＝1.①又∵P(1,1)、Q(2，－1)在抛物线上，∴a＋b＋c＝1，②4a＋2b＋c＝－1.③联立①②③解方程组，得a＝3，b＝－11，c＝9.∴实数abc的值分别为3、－11、9.探究提高利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q(2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．变式训练4设函数f(x)＝ax＋1x＋b(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.求y＝f(x)的解析式．解f′(x)＝a－1x＋b2，由题意得2a＋12＋b＝3，a－12＋b2＝0，解得a＝1，b＝－1，或a＝94，b＝－83，又因a，b∈Z，故f(x)＝x＋1x－1.易错警示5．分不清“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”的区别致误(12分)已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．审题视角(1)曲线在(2,4)处的切线，即切点为(2,4)；(2)曲线过点(2,4)的切线，(2,4)不一定是切点，所以要先设切点．规范解答解(1)∵y＝13x3＋43，∴y′＝x2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4[2分]由y－4＝4(x－2)，得4x－y－4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为4x－y－4＝0[4分](2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43[6分]则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20x－23x30＋43[8分]∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43[10分]即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1