2011年数学建模C题(国二)

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：四川文理学院参赛队员(打印并签名)：1.刘姣2.冯德琼3.何招才指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张瑞日期：2011年9月11日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1企业退休职工养老金制度改革的探究摘要本文针对我国企业退休职工养老保险基金收支平衡的问题，根据2005年颁发的《国务院关于完善企业职工基本养老保险制度的决定》，建立养老保险基金收支平衡模型[1]，即缴存的养老保险金E与得到的养老保险金F保持一致；和对养老金替代率讨论模型58.5%u。分析了在该政策背景下，当已知基金收益率和缴费率时，各个因素对基金收支平衡的影响。对问题一采用阻滞增长模型[2]0()1(1)mrtmxxtxex，用曲线拟合[3]的方法预测从2011年至2035年山东省职工的年平均工资。对于问题二计算出各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，再使用加权平均得出缴费指数参考值。针对问题三根据一个职工他所交的养老保险金和他退休后总共领取到的养老金的差值来计算其缺口，最后找到该职工领取养老金到多少岁时，达到收支平衡。问题四为了保证我国社会养老保险基金不仅实现当期收支平衡，而且还要在未来长时期内保持收支平衡，并要达到目标替代率，结合我国国情实际，从就业年龄，退休年龄，养老金替代率，工资增长率等影响养老保险基金收支平衡的各相关变量作了定量和定性分析讨论，得到了既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡可以采取以下措施：(1)提高就业年龄,根据社会保险基金“以收定支”的原则进行测算,推迟职工的就业年龄有利于减少养老金负担，缓解就业压力。(2)提高退休年龄，退休年龄是决定养老金负担水平的一个基本因素，在平均预期寿命和保障水平一定的情况下，提高退休年龄，不仅可以缩短平均享用养老金年限，降低养老金支付总负担，而且还可以相对延长职工缴纳养老保险费的期限，增加养老保险基金收入，从双向有利于实现养老基金收支的平衡。（3）缩短养老金替代率降低时间，在假定其他因素不变的情况下，可以保证基金在2050年之前不出现赤字，可更好的维系养老金收支平衡，并达到养老金目标替代率。（4）降低工资增长率,工资增长率对职工领取的保险费额的影响幅度远远超过对其所缴纳的保险费额的影响幅度，从而使E与F的正差额变小，即使积累或结余变少。因此，降低工资增长率可以缓解养老金支付负担,维持收支平衡。本文建立模型算出的结果与实际情况没有太大偏差，且模型四的结论在模型一、二、三算出的实际数据得到了验证。关键词：阻滞增长模型加权平均收支平衡曲线拟合替代率2一问题重述随着经济发展，工资增长，养老金（也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要）亦在不断改革。由于我国国情决定了现在我国养老保险改革正处于过渡期，养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%。替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口（所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差）。本题要求：1、对未来中国经济发展和工资增长的形势做出简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。2、根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，并把这些比值看作职工缴费指数的参考值，计算该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）各种情况下的养老金替代率。3、根据给出条件计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。4、找到既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡的合理可行措施。二问题分析问题一要预测从2011年至2035年山东省职工的年平均工资，从前几年数据可以得到它们的工资增长率符合阻滞增长模型，因此本文采用此模型并进行曲线拟合来解决该问题。问题二要用各年龄段职工工资与该企业平均工资之比作为作职工缴费指数的参考值，为了让数据更具有合理性，使用加权平均得出缴费指数参考值，再算出替代率。问题三根据一个职工他所交的养老保险金和他退休后总共领取到的养老金的差值来计算其缺口，最后找到该职工领取养老金到多少岁时，达到收支平衡。问题四需找到既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡的措施，那就需找到影响它们的相关变量，并对其做定量和定性分析讨论，最后找出合理且可实行的措施。三模型假设1、不会出现金融危机，大型自然灾难等大幅度影响人民收入的意外情况；2、职工每月的工资都按时发放，无拖欠现象；3、基本养老金按时足额发放；4、凡是参加企业职工基本养老保险的单位和个人，都必须按时足额缴纳基本养老保险费；35、职工得到的工资是缴存了养老保险的净工资，且在本文中，实发工资的时候只扣除了养老保险金；6、企业无隐形债务；7、职工缴费年限都大于等于15年；8、基金收益率8%和缴费率20%都是维系收支平衡的最佳点。四符号说明kA：第k种情况企业职工退休时养老金；kB：第k种情况企业基础养老金；kD：第k种情况企业职工个人账户储存额；kH：第k种情况企业职工个人账户养老金；jc：表示当地第j年职工实发平均工资；jb：表示当地第j年职工应发工资；p：表示退休年龄；q：表示参保年龄；y：表示计发月数；1pc：表示在职职工退休前一年的当地社会月平均工资水平；N：表示职工退休前累计缴费月数；kN：第k种情况企业职工领取的养老金；kG:第k种情况下出现的缺口；w：为人均寿命；ijX：表示第j年份i岁在职职工的人数；im：其缴存的养老保险金；(1,2,3)iin：其退休后第一个月领取的养老保险金；(1,2,3)iku:第k种情况职工缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡时，职工领取养老金的年数；4r:人均工资增长率；x:人均工资；kd：第k种情况的替代率；kf:第k种情况下职工缴存的养老保险基金与其所领取的养老金的差值；mx:人均工资的最大值；)(xr:将r表为x的函数；dtdx:人均增长速度；0x：1978年人均工资；E：养老保险费的收入；F：基本养老金的支出；：无穷小的数。五模型建立与求解5.1模型一采用阻滞增长模型,用曲线拟合的方法预测从2011年至2035年山东省职工的年平均工资。由附件1可得到表1：1978年1979年1980年1981年1982年1983年1984年1985年1986年566632745755769789985111013131987年1988年1989年1990年1991年1992年1993年1994年1995年1428178219202150229226013149433851451996年1997年1998年1999年2000年2001年2002年2003年2004年58096241685476568772100071137412567143322005年2006年2007年2008年2009年2010年166141922822844264042968832074表1山东省职工平均工资根据阻滞作用体现在对人均工资增长率r的影响上，使得r随人均工资x的增加而下降。若将r表为x的函数()rx，则它应是减函数，于是方程写为;0(),(0)dxrxxxxdt（1）对()rx的一个最简单的假设是设()rx为x的线性函数，即5()rxrsx(0,0)rs（2）我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。为了确定s我们引入mx,人均工资的最大值mx=600000元。计算1978—2010年人均工资的增长率的平均值为r，称为固有增长率，当mxx时人均工资不再增长，即增长率()0mrx代人（2）式得mrsx于是()(1)mxrxrx（3）（3）式的另一种解释：增长率()rx与人均工资尚未实现部分的比例mmxxx成正比，比例系数为固定增长率r将（3）式代人（1）式得()(1)mdxxrxdtx0(0)xx（4）方程（4）中式子()rx以体现人均工资的增长趋势，式子(1)mxx则体现了生产力发展和资源对人均工资增长的阻滞作用]1[。显然，x越大()rx越大，(1)mxx越小，人均工资增长是两个式子共同作用的结果。如果以x为横轴，dxdt为纵轴做出方程（4）的图形[2]（如下图），由此图可分析人均增长速度dxdt随着x的增加而变化的情况，从而可看出()xt的变化规律x的增加是先快后慢，t时，mxx；拐点在2mxx处，见图16图1Logisic模型/~dxdtx曲线实际上方程（4）可以很方便地用分离变量法得到0()1(1)mrtmxxtxex（5）利用Matlab]6[与表一数据可以画出（5）式的图形，它是一条s形曲线（如图2），程序见附录（1）：161116212631364146515661667176818691961011061111161211261311361411460123456x105图2注:上图中数字1表示是从1978年开始计数，o表示1978年到2010年山东省得年平均工资，曲线s表示对未来山东省年平均工资走势的预测。利用以上模型和表一可对山东省2010年到2035年职工的年平均工资进行预测]2[，其中年平均工资的单位是（元）；预测结果如表2，程序见附录（2）：72010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年3207437250418704700052710590406603073750822202019年2020年2021年2022年2023年2024年2025年2026年2027年915001016201126101244901372701509501655101809001970802028年2029年2030年3031年2032年2033年2034年2035年213960231460249460267850286490305230323930342440表2山东省2010年到2035年职工的年平均工资进行预测5.2模型二根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。该企业平均工资：11012503061750392225041027502673250115375052450012650016642580.23;20-24岁职工工资与该企业平均工资之比：1726.95/2580.23=0.67;25-29岁职工工资与该企业平均工资之比：2077.00/2580.23=0.80;30-34岁职工工资与该企业平均工资之比：2535.12/2580.23=0.98;35-39岁职工工资与该企业平均工资