专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何

第9讲空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算第二节数量积向量积第三节曲面及其方程第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程第一节向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角返回CounsellingonAdvancedMathematics台州职业技术学院TaizhouVocational&TechnicalCollegeWangrongwei复习要求（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。（3）掌握二向量平行、垂直的条件。一、向量概念向量：有向线段.符号表示：，，，，等.ABabc向量的大小：长度的值.向量的方向：箭头方向.自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关.自由向量的相等：大小相等且指向相同.向量的模：向量的长度.||，||ABa单位向量：模为1的向量.零向量：模等于零的向量，其方向任意.向量平行：两个非零向量的方向相同或者相反.k个向量共面：k(3)个有公共起点的向量的k个终点和起点在一个平面上.返回二、向量的线性运算1.向量的加减法加法：cbaabba(2)平行四边形法则(1)三角形法则向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：.abba（2）结合律：cbacba)().(cba多个向量相加，可以按照三角形法则.负向量：大小相等但方向相反的向量.aaabbaba)(baba减法：babac)(abbbcabbaba.0)(aa特例：2.向量与数的乘法向量与实数的乘积记作aa,0)1(a与a同向，||||aa,0)2(0a,0)3(a与a反向，||||||aaaa2a21数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：)()(aaa)(（2）分配律：aaa)(baba)(ABDCabM,.,例1在平行四边形ABCD中，aABbAD试用和表示向量、、和abMAMB这里M是平行四边形对角线的交点.MCMD设解由于平行四边形的对角线互相平分,所以,2AMACba即()2,abAM于是).(21baMA因为,MAMC所以).(21baMC又因,2MDBDba所以).(21abMD由于,MDMB所以).(21baMB设表示与非零向量同方向的单位向量，按照向量与数的乘积的规定，aeaa||.||aeaa上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.aea两个向量的平行关系定理设向量，那么，向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使.0abaab三、空间直角坐标系坐标轴：取空间一个定点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫作x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴);点O叫作坐标原点（或原点）.通常取x轴、y轴水平放置；z轴竖直放置，它们的正向符合右手法则.OZYXOxyz坐标系可记作[O；，，]坐标系ijk坐标面：空间直角坐标系中任两轴确定的平面。xOy面、yOz面、xOz面.卦限：坐标面将空间分为八个卦限，用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.Ⅶxyozxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ),,(zyxM)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxCxyzor向量的坐标分解式：rkzjyixOMr向径：以原点为起点，M为终点的向量，例如.r空间的点有序数组),,(zyx特殊点的表示:坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点,A,B,C)0,0,0(O返回四、利用坐标作向量的线性运算),,(zzyyxxbababa;)()()(kbajbaibabazzyyxx),,,(zyxaaaa),,,(zyxbbbb设),,(zyxaaa.)()()(kajaiaazyx（为实数）zzyyxxbabababa//推论：),,(zzyyxxbababa;)()()(kbajbaibabazzyyxx则五、向量的模、方向角1.向量的模与两点的距离公式),,(zyxOMr向量的模：222||||zyxOMr设有点，则其距离为),,(111zyxA212212212)()()(||zzyyxxABAB),,(222zyxB例求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.)3,2,5(),2,1,7(),1,3,4(321MMM解因为,14)12()31()47(222221MM同理可得,6213232MMMM所以,,即为等腰三角形.1332MMMM321MMM2.方向角与方向余弦两向量的夹角的概念：特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.,0a,0b设aAbB类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.),(ba),(ab0()向量a与向量b的夹角设非零向量r=(x,y,z)MPQROzyx非零向量与三条坐标轴的正向的夹角方向角：r的方向角：、、,0,cosrx,0,cosry.0.cosrz方向余弦:方向余弦的特征:222coscoscos1单位向量的方向余弦为:rere||rr).cos,cos,(cos例已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.)2,2,2(1M)0,3,1(2M21MM解)20,23,21(21MM);2,1,1(;2)2(1)1(22221MM;22cos,21cos,21cos.43,3,32第二节数量积向量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积返回一、两向量的数量积实例一物体在常力F作用下沿直线从点1M移动到点2M，以s表示位移，则力F所作的功为cos||||sFW(其中为F与s的夹角).1M2MFs启示两向量作这样的运算,结果是一个数量.定义向量a与b的数量积为bacos||||baba)).,((baabcos||||baba数量积也称为“点积”、“内积”.关于数量积的说明：0)2(ba,ba)(,0ba,0||a,0||b.ba.||)1(2aaa)(,ba,0cos,0.||cos||||2aaaaa证证,0cos,2,2).0,0(ba.0cos||||baba数量积符合下列运算规律：（1）交换律：;abba（2）分配律：;)(cbcacba（3）若为数：),()()(bababa若、为数：).()()(baba数量积的坐标表达式ba)(kajaiazyx)(kbjbibzyx,kji,0ikkjji,1||||||kji.1kkjjiizzyyxxbabababa,kajaiaazyxkbjbibbzyx设cos||||baba,||||cosbaba222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa两向量夹角余弦的坐标表示式：ba0zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为).0,0(ba例已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求.AMB解作向量MA及MB，就是向量MA与MB的夹角.这里，MA=(1,1,0)，MB=(1,0,1),从而AMB;1100111MBMA;2011222MA.2101222MB代入两向量夹角余弦的表达式，得.21221cosMBMAMBMAAMB由此得.3AMB二、两向量的向量积||||||FOQMsin||||FOP设O为一根杠杆L的支点，有一力F作用于这杠杆上P点处．力F与OP的夹角为，力F对支点O的力矩是一向量M，它的模实例LFPQOM的方向垂直于OP与F所决定的平面,指向符合右手系.sin||||||bac(其中为a与b的夹角)向量a与b的向量积为bac定义c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右手系.关于向量积的说明：.0)1(aa)0sin0(ba)2(//.0ba)0,0(ba.0sin||||||baba)(,0ba,0||a,0||b证,0sin,0ba//)(0sinba//或0向量积符合下列运算规律：.)(cbcacba).()()(bababa.abba（1）（2）分配律：（3）若为数：,kajaiaazyxkbjbibbzyx设ba)(kajaiazyx)(kbjbibzyx,0kkjjii,kji,jik,ikj,kij.jki,ijkkbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjibaba//zzyyxxbababa由上式可推出0,0yxaa补充：||ba表示以a和b为邻边的平行四边形的面积.xb、yb、zb不能同时为零，但允许两个为零，zzyxbaaa00例如，abbac解zyxzyxbbbaaakjiba211112kji.35kji例设，，计算.)1,1,2(a)2,1,1(bbaABC例已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积.解根据向量积的定义，三角形ABC的面积为AACABSABCsin||21||21ACAB),2,2,2(AB),4,2,1(AC由于因此,264421222kjikjiACAB于是.142)6(42126421222kjiSABC第五节平面及其方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角CounsellingonAdvancedMathematics台州职业技术学院TaizhouVocational&TechnicalCollegeWangrongwei复习要求（1）会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂