题型8--解直角三角形

题型8解直角三角形的应用中考概况一、考点分布及分值设置附：近三年泸州中考数学关于“解直角三角形”的应用题2017年1.如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上.求该渔船此时与小岛C之间的距离.解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意，得∠BCD=30°.设BC=x.在Rt△BCD中，BD=BC·sin30°=12x,CD=BC·cos30°=32x，∴AD=30+12x在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，即(30+x2)2+(32x)2=702，解得x1=50,x2=-80(舍去).答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里.2018年2.如图，甲建筑物AD、乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A、E、B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离(计算结果用根号表示，不取近似值).解：由题意知：BC=6AD，AE+BE=AB=90m.在Rt△ADE中，tan30°=ADAE，sin30°=ADDE，∴AE=AD33=3AD，DE=2AD.在Rt△BCE中，tan60°=BCBE，sin60°=BCCE，∴BE=BC3=33BC=23AD，CE=23BC3=43AD.∵AE+BE=AB=90m，∴3AD+23AD=90，∴AD=103m.∴DE=203m，CE=120m.∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°，∠DEA=30°，∠CEB=60°，∴∠DEC=90°，∴CD=DE2+CE2=15600=2039(m).答：这两座建筑物顶端C、D间的距离为2039m.2019年3.如图，海中有两个小岛C、D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距202nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距205nmile.(1)求sin∠ABD的值；(2)求小岛C、D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).解：(1)过D作DE⊥AB于E.在Rt△AED中，AD＝202，∠DAE＝45°，∴DE＝202×sin45°＝20（nmile）.在Rt△BED中，BD＝205，∴sin∠ABD＝EDBD＝20205＝55.(2)过D作DF⊥BC于F.在Rt△BED中，DE＝20，BD＝205，∴BE＝BD2−DE2＝40（nmile）.∵四边形BFDE是矩形，∴DF＝EB＝40，BF＝DE＝20，∴CF＝BC－BF＝30（nmile）.在Rt△CDF中，CD＝DF2+CF2＝50(nmile).答：小岛C、D之间的距离为50nmile.二、考情分析与预测近三年中考数学题中均设有一道8分的解直角三角形应用题，其中2018年较接近学生的生活，考查仰角、俯角在解直角三角形中的应用；2019年、2017年考查的是渔船在航海时的方位角问题.都需要学生自己去构造直角三角形，有一定的难度.预计2020年中考仍有与近三年的中考题类似的解直角三角形的应用问题，读懂题目、数形结合、正确运用锐角三角函数知识是解决此类问题的关键，同学们应克服畏难情绪，主动接受挑战，努力从题干中提取有用信息，尽量从这类题目中得分.考法示例类型1仰角、俯角示例1小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国-南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°(B、C、D在同一条直线上)，AB=10m，隧道高6.5m(即BC=6.5m)，求标语牌CD的长(结果保留一位小数).(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，3≈1.73)［分析］如图，作AE⊥BD于E.分别求出BE、DE，可得BD的长，再根据CD=BD-BC计算即可.［解答］解：如图，作AE⊥BD交BD于E.在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10，∴BE=12AB=5m，AE=53m.在Rt△ADE中，DE=AE·tan42°≈7.79(m)，∴BD=DE+BE=12.79(m)，∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3(m).答：标语牌CD的长为6.3m.［点评］本题考查解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题.1.(2019·广安)如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上.(1)求古树BH的高；(2)求教学楼CG的高.(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)变式训练解：(1)在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°，∴HE＝EF＝10，∴BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5(米).答：古树BH的高为11.5米.(2)在Rt△EDG中，∠GED＝60°，∴DG＝DE·tan60°＝3DE.设DE＝x米，则DG＝3x米.在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°，∴GD＝DF＝EF+DE，∴3x＝10+x，解得x＝53+5.∴CG＝DG+DC＝3x+1.5＝3(53+5)+1.5＝16.5+53≈25(米).答：教学楼CG的高约为25米.2.(2019·达州)渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今.一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m.景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m.于是，他们很快就算出了AB的长.你也算算？(结果精确到0.1m.参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，2≈1.41，3≈1.73)解：作BF⊥CE于F.在Rt△BFC中，BF＝BC·sin∠BCF≈3.20，CF＝BC·cos∠BCF≈3.85.∴BH＝BF－HF≈0.20.在Rt△ADE中，DE＝AEtan∠ADE＝33＝3≈1.73，∴AH＝EF＝CD+DE－CF≈0.58.由勾股定理，得AB＝BH2+AH2≈0.6(m).答：AB的长约为0.6m.类型2方向角示例2“五·一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示.根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处(精确到1米).(备用数据：2≈1.414，3≈1.732)［解析］根据题意，先用BD表示出CD，进而表示出AD，再根据AD=AB+BD列方程求解.［答案］解：由题意，得∠CAD=45°，∠CBD=60°，AB=200米.设BD=x米.在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBD=3，∴DC=3BD=3x.在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD=1，∴AD=DC=3x.∵AD=AB+BD，∴3x=200+x，解得x=100(3+1)≈273(米).答：小明还需沿绿道继续直走273米才能到达桥头D处.［点评］本题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用直角三角形中的边、角关系表示出AD=3BD是解题的关键.3.(2019·广元)如图，某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)(1)求B，C两处之间的距离；(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.变式训练解：(1)作CE⊥AB于E，则∠CEA＝90°.由题意，得AB＝60×1.5＝90(海里)，∠CAB＝45°，∠CBN＝30°，∠DBN＝60°，∴△ACE是等腰直角三角形，∠CBE＝60°.∴CE＝AE，∠BCE＝30°，∴CE＝3BE，BC＝2BE.设BE＝x，则CE＝3x，AE＝BE+AB＝x+90，∴3x＝x+90，解得x＝453+45.∴BC＝2x＝2×(453+45)=903+90(海里).答：B，C两处之间的距离为(903+90)海里.(2)作DF⊥AB于F，则DF＝CE＝3x＝（135+453）海里，∠DBF＝90°－60°＝30°，∴BD＝2DF＝（270+903）海里，∴海监船追到可疑船只所用的时间为270+90390＝3+3(小时).答：海监船追到可疑船只所用的时间为(3+3)小时.4.(2019·海南)如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里.(1)填空：∠BAC=_____度，∠C=_____度；(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).3045解：(1)3045［由题意,得∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°.］(2)∵BP⊥AC，∴∠BPA=∠BPC=90°.∵∠C=45°，∴△BCP是等腰直角三角形.∴BP=PC.∵∠BAC=30°，∴PA=3BP.∵PA+PC=AC，∴BP+3BP=10，解得BP=53-5.答：观测站B到AC的距离BP为(53-5)海里.类型3其他应用示例3如图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度.(结果保留一位小数.参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)［分析］作CE⊥BD交BD于E，AF⊥CE交CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，从而得出∠CAF=28°.在Rt△ACF中利用正弦可求出CF，最后用CF+EF即可得解.［解答］解：作CE⊥BD交BD于E，AF⊥CE交CE于F，如图2，则四边形AHEF为矩形，∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°.在Rt△ACF中，sin∠CAF=CFAC，∴CF=9×sin28°≈9×0.47=4.23(m)，∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6(m).答：操作平台C离地面的高度为7.6m.［点评］本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题)，然后利用勾股定理或三角函数的定义进行几何计算.5.(2019·台州)图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图.已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度(结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75).变式训练解：过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E.∵sin∠ABD＝ADAB，∴AD＝AB·sin∠ABD=92×0.94≈86.48（cm）.∵DE＝6，∴AE＝AD+DE＝86.48+6≈92.5（cm）.答：把手A离地面的高度约为92.5cm.