金融风险管理Chapter_2财务风险管理的数理基础

22高素養的財務管理人才•現代的財務管理與風險管理的能力不僅需要財金專業的背景，更需要有嚴謹的數理思維訓練，尤其是新型交易工具與策略不斷推出，定價與分析大量資料以評估風險等的能力，需要具備非常好的數理與統計的基礎。•具有堅實計量分析基礎的頂尖商業人才再加上嚴謹的數理思惟訓練，已成為華爾街身價最高的搶手貨。•大量利用如「火箭科學（RocketScience）」般艱澀的數學觀念與技巧運用在金融產品上，因此顛覆了傳統的比例分析等簡易的投資分析方法，而成為現今金融分析的主流。32.1隨機過程與機率分配之建立•隨機變數（RandomVariable）：序列中任一時刻所觀察到的值卻是不確定的。•時間數列（TimeSeries）：隨機變數隨著時間的經過，可以形成一組序列資料，此一跟時間有關而產生的資料。•隨機過程（RandomProcess）：這些無法預知的數字稱為隨機變數，產生的過程則稱隨機過程。4機率三項公理•，：表示機率的數值一定會大零於或是等於零，絕對不會有負值。•：所有結果出現機率的加總必為一。•若(A與B為互斥事件)，則•，。BA0)(APP=1)()()(BPAPBAPBA,A5機率分配函數•又可分為間斷（Discrete）與連續（Continuous）兩種型態。•若函數滿足下列性質(間斷型)：－，－－，其中則稱函數為隨機變數的機率質量函數（ProbabilityMassFunction，P.M.F）。0()1fxxR()1xRfx()()xAPxAfxAR6機率分配函數•若函數滿足下述性質(連續型)：－，－－，其中稱函數為隨機變數的機率密度函數（ProbabilityDensityFunction，P.D.F.）。•累積分配函數（CumulativeDistributionFunction，C.D.F.）：()0fxxR()1fxdx()()APxAfxdxAR()()FxPXx72.2基本的敘述統計量•母體平均數與變異數•樣本平均數與樣本變異數•偏態與峰態•共變數與相關係數82.2.1母體平均數與變異數•基本統計量了解資料的特性：平均數（Mean）、變異數（Variance）、偏態係數（CoefficientofSkewness）、峰態係數（CoefficientofKutosis）。•母體：描述隨機變數的真實性質。•樣本：藉著分析樣本資料來推斷母體的特性。9母體平均數（PopulationMean）•若為離散型，則•若為連續型，則Niiixfx1)(dxxxfi)(10母體變異數（PopulationVariance）•若X為間斷型，則•若X為連續型，則221()()niiiVarxxfx22()()Varxxfxdx112.2.2樣本平均數與樣本變異數•樣本平均數（SampleMean）定義為：•樣本變異數定義（SampleVariance）為：•s2開根號後取正根稱為標準差，以s表示。niinxnnxxx111.....ninixxns122)(1112表2.1資產年底可能價值可能情況分類資產價值186.54289.44391.61491.78592.39692.89793.95894.54995.871095.9813例子(根據表2.1)••••所以標準差為：niinxnnxxxx1211.....92.499186.5489.4491.6191.7892.3992.8993.9594.5495.8795.9810ninixxns122)(111021192.4999iix908.2455.82s455.814變異係數（CoefficientofVariance）•比較兩個隨機變數的標準差或變異數時，會因為兩者的單位不同而無法比較，變異係數（CoefficientofVariance，C.V.）可以避免這樣的問題。•用以表示每一單位報酬所帶來的風險，也是可以用來衡量不同投資之標的之間「相對風險」的指標。平均值標準差..VC152.2.3偏態與峰態•偏態係數可用以瞭解投資獲利與損失的機會是否相等，兩者會不會有顯著差異。•若隨機變數為間斷型，則：母體偏態係數•若隨機變數為連續型，則：母體偏態係數31()niiixfx3()xfxdx16樣本偏態係數•偏態係數•以表2.1為例，其樣本偏態係數為：偏態係數===31(1)(2)niixxnnnS1013])908.2499.92[(8910iix])197.1()159.1(.....)052.1()049.2[(72103333843.017峰態係數•用以測量資料分佈形狀峰度有多高，因此可用以衡量風險集中密集的程度。•若隨機變數為間斷型，則：母體峰態係數•若隨機變數為連續型，則：母體峰態係數41()niiixfx4()xfxdx18峰態係數(樣本)•樣本峰態係數=•例子(表2.1)樣本峰態係數===niixnnnnn14)][()3)(2)(1()1(1014])908.2499.92[(7891110iix])197.1()159.1(.....)052.1()049.2[(5041004444027.5192.2.4共變數與相關係數•共變數(Covariance)可用以瞭解兩隨機變數x與y之間的關係。•相關係數（CorrelationCoefficient），相關係數不受單位變化影響，一般以希臘字母表示與之間的相關係數。相關係數其值均介於（-1,+1）之間。11(,)1nxyiiiCovxyxxyynxyxyxy20N種變數組合之平均數與變異數•組合平均數，以表示：，表示資產價值佔總產價值之比例。•包含n種變數之組合變異數，以表示：，y1niiiywx1,,in2y211ijijnnyijxxxxijwwnininijijjiii,1,,ijniw212.3風險管理常見的分配函數•常態分配•卡方分配•Studentt分配•對數常態分配22常態分配（NormalDistribution）•常態分配在分析上較易處理，僅需要平均值與變異數就可以表達。•常態分配的圖形為鐘形曲線，具有對稱性。•根據中央極限定理（CentralLimitTheorem），使得在抽樣的樣本夠大時，常態分配可做為大樣本的近似分配。•許多資產報酬率假設分配的第一選擇。23常態分配之機率分配函數•機率分配函數：•表示變數的機率密度函數，其值由x、μ及所決定。因此整個常態分配的形狀只需要平均數μ與標準差σ就可以表達。μ稱為位置參數，μ可以影響圖形中心的位置；σ則為尺度參數,，σ愈大表圖形散的愈開（通常也意味著波動越大）。2221()2xfxex)(xf24常態分配之偏態係數•常態分配之偏態係數為0。•若偏態係數大於零，則稱該機率分配正偏態或右偏態（SkewedtotheRight），意味機率分配圖形往右延伸，而且出現的結果多分布在平均數的左側；反之，若偏態係數小於零，則稱該機率分配負偏態或左偏態（SkewedtotheLeft），意味圖形往左延伸，而且出現的結果多分布在平均數的右側。25偏態效果：右偏態與左偏態（與常態分配比較）f(x)X左偏分配右偏分配常態分配26常態分配之峰態係數•常態分配之峰態係數為+3。•再以峰態係數而言，是次數分配曲線與常態曲線比較，是較為尖峻或平坦（參見圖2.5），若當分配之峰態係數大於常態分配的＋3時，便稱該分配具有高狹峰（Leptokurtosis）或有厚尾（Fat-Tailed）的現象，此時極端事件出現的機率比常態分配預測的要來的高；反之，若分配之峰態係數小於常態分配的＋3時，便稱該分配具有低闊峰（Platykurtosis）或有窄尾（Thin-Tailed）的現象，此時極端事件出現的機率比常態分配預測的要來的低。27峰態效果：高狹峰與低闊峰（與常態分配比較）28標準常態分配•然而為了避免處理不同常態分配而擁有不同參數的研究困難，可以近一步將常態分配轉換。常態分配的優點是不論其平均數和標準差之值為何，均可經過標準化的變換，轉換成平均數為0和標準差為1的標準常態分配。•標準化：•分配函數變成為：XZ221()2Zfze)1,0(~NZ29圖2.6標準常態分配區域圖-2-10120.40.30.20.10.068%95%-2-10120.40.30.20.10.068%95%Ｚ值%68)1()]()[(ZPxP%95)2()]2()2[(ZPxP302.3.2卡方分配•將標準常態分配加以平方後所得到的機率分配，以來表示。•假設個獨立之常態隨機變數，其平均數分別為，變異數為，所以：•則稱隨機變數是自由度為n的卡方分配，其平均數，變異數。2nxxx,.....,,21n,.....,,212,22,21.....,nniiiinx122)(2n2()En2()2Varn31卡方分配的性質•卡方分配為常態分配平方，故其值永遠為正。•當自由度越來越大時，分佈將會越來越趨近常態分佈。2322.3.3Studentt分配•假設X與Y為獨立之隨機變數，分別服從標準常態分配N(0,1)與自由度為的卡方分配，則下列隨機變數被稱做是具有自由度n的t分配（tDistributionwithnDegreesofFreedom），一般以tn表示：/XtYn33利用t分配•母體服從•母體變異數未知且為小樣本時，則：其中：2(,)Nnsxt112nxxsnii)(34圖2.8t分配與標準常態分配之機率分配圖形t分配相較於常態分配而言具有厚尾的特徵，且隨著樣本數目n越大，t分配將越來越接近常態分配。352.3.4對數常態分配•如果x~lognormal，則lnx~normal。•如果x~normal，則ex~lognormal。•對數常態分配的機率分配函數：222)(ln121)(xexxfx0x0，，362.4信賴區間與信賴水準•在給定水準之下，信賴區間可以用來預測未來事件發生可能範圍。•信賴區間的表示方法：•信賴水準（ConfidenceLevel）則進一步提供了精確的預測值，而非一個區間。21)()(21xxdxxPxxxP372.5蒙地卡羅模擬法•是一種數值研究方法，主要是利用隨機取樣（RandomSampling）的方式來模擬隨機變數的機率分配，進而取得一些重要的參數。•該法可以模擬未來特定期間下，對可能發生之不同情境與其相對應之資產價格可能變化，利用一個隨機過程來重複模擬，以建立投資組合於未來特定期間之損益（或報酬）的分配，因此特色就是不需要就隨機變數的統計分配預先加以假設或預測。382.6迴歸分析•相關與簡單迴歸分析•判定係數與檢定•多重迴歸分析392.6.1相關與簡單迴歸分析•簡單迴歸模型首先假設X與Y之間符合下列線性關係：•估計方程式：運用此方法之前仍需滿足下列幾個條件：--因變數y與自變數x之關係是直線的。--殘差與自變數之間互相獨立。--自變數為已知，而且非隨機（Nonstochastic）。--殘差項具有期望值為0、常態分布、獨立及變異一致性。,iiiXYTi,....,2,1,ˆˆˆiiXYTi,....