近世代数题库:一、填空题:1、设集合A有一个分类,其中iA与jA是A的两个类,如果jiAA,那么jiAA。2、群的单位元是的,每个元素的逆元素是的。3、若a,b∈G;m,n∈Z,且(ab)n=anbn,则G为。4、如果S=﹛a,b﹜,且a,b满足关系232;abebaab,列出群,ab的所有元素。5、凯莱定理说:每一个群都同一个同构。6、若映射既是单射又是满射,则称为。7、如果f是A与A间的一一映射,a是A的一个元,则aff1。8、设是群G到G′的同构映射,且可逆,若a是G的任一元素,则1a=。9、已知群G中的元素a的阶等于50,则4a的阶等于。10、设群G中元素a的阶为m,如果ean,那么m与n存在整除关系为。11、设交换群G中a的阶是3,b的阶是4,则ab的阶是。12、在循环群G=a中若a的阶是一个有限整数n,那么G与同构。13、若群G=a是无限循环群,那么G与同构。14、求Z12的全部生成元,全部子群。15、每一个有限群都同构于一个。16、n次对称群nS的阶是。17、给出一个5轮换)31425(,那么1。18、设置换1212nnkkk,则对任一n阶置换有1。19、将下列轮换的乘积表示为不相交轮换的乘积(3654)(3241)(31524)=。20、已知4=(1437562),则=。21、整数加法群Z关于子群nZ的陪集为。22、设orda=30,则4a在a中的所有左陪集是。23、在Z12中,子群H=4中的所有左陪集是。24、H是群G一个子群,则H的右、左陪集的个数。25、设N是G的正规子群,商群NG中的单位元是。26、设G是一切非零实数所构成的乘法群,令同态映射:G→G′;x→x2,则Ker=。27、表示出Z20到Z8得所有同态映射。28、设集合1,0,1A;2,1B,则有AB。29、设1G和2G是两个群,且1G的阶为m,2G的阶为n,则12GG:①是交换群的充要条件是:;②是循环群的充要条件是:。30、设1Ga中a的阶为3,2Gb中b的阶为5,则12GG的阶为。31、96ZZ中9阶元素有个。二、判断题:1、若G为群,则在群中消去率成立。2、循环群是交换群。3、设G是一个具有乘法运算的非空有限集合,若G满足结合律且两个消去律成立,则G构成群。4、若H是群G的一个非空有限子集,且,abH都有abH成立,则H是G的一个子群。5、群G任意两个子群的交集还是G得子群。6、只要f是A到A的一一映射,那么必有唯一的逆映射1f。7、设G是一个元素个数为n的有限群,则若a是G的任一元素,则orda︱n。8、如果群G的子群H是循环群,那么G也是循环群。9、每个置换都可以表示为对换的乘积,且对换个数的奇偶性唯一。10、当n﹥1时,在全体n阶置换中,奇置换和偶置换各有n!/2个。11、设A与B是群G的两个非空子集,且AB=AC,则B=C。12、设A与B是群G的两个非空子集,g是群G的一个元素,且gA=gb,则A=B。13、群G的子群H是不变子群的充要条件为1,;gGhHghgH。14、交换群的子群是正规子群。15、交换群的商群也是交换群。16、设f是群G到群G的同态映射,H是G的子群,则fH是G的子群。17、同构映射也称同态映射。18、设是群G到群G′的同态映射,则Ker是G的正规子群。三、证明题:1、设m使大于1的正整数,记U()(,)1mmaZam,证明U(m)是群。2、设G是群,证明:如果对任意的x∈G,都有x2=e,则G是一个交换群。3、设R使全体实数组成的加法群,R+表示全体正实数组成的加法群,证明:群R与R+同构。4、设H是G的子群,a,b∈G.证明:Ha=Hb的充要条件是ba-1∈H。5、设G为群,H是G的子群,若H在G中的指数为2,证明:H是G的正规子群。6、设G为群1H,2H是G的正规子群,证明:12HH,12HH都是G得正规子群。四、名词解释:1、等价关系:2、群的定义:3、子群的定义:4、同构映射的定义:5、置换群的定义:6、轮换的定义:7、左陪集的定义:8、正规子群的定义:9、商群的定义:10、同态映射的定义:11、核的定义:12、外直积和内直积的定义:13、环的定义:14、理想的定义: