平行轴定理

•刚体：在任何情况下都不发生形变的物体。•理想模型。刚体的定轴转动转动动能转动惯量刚体的定轴转动定律力矩的功刚体定轴转动的动能定理刚体的角动量定理和角动量守恒定律§4-1刚体的定轴转动•一刚体的运动形式••平动•转动•刚体平动平动：刚体中任意两点的连线在运动中始终保持彼此平行。刚体内任一点的运动代表整个刚体的运动OO’•转动：刚体运动时，刚体内的各个质点都绕同一直线作圆周运动。•这一直线称为转轴。•定轴转动：转轴是固定不变的。ABAABθ刚体的一般运动=平动+转动1、转动平面：垂直于转动轴的平面。二、刚体定轴转动的描述：转动平面Mrω参考方向X00θαv2、定轴转动的角量描述：角位移：角速度：角位置：xyodtd角速度矢量：大小：dtd方向：右手螺旋角加速度矢量：dtd角加速度：dtd3、线量与角量的关系：rddsrvrv2ranratrv总结：定轴转动运动学两类问题：1、已知)(t角速度、角加速度。2、已知)(t，求角速度、运动方程。，求角位移、与一维线量问题类似§4-2转动动能转动惯量一转动动能•刚体由许多质元组成。当刚体绕定轴转动时，各质元的角速度都相同，但线速度各不相同。刚体r1,r2,r3,…….,,,…….r1,r2,r3,……,,,321mmmirivimim的转动动能：221iikimEv2221iirm整个刚体的转动动能：iikkEE2221iiirm2221iikirmEI221IEk刚体的转动动能令：iiirmI2为刚体饶定轴转动的转动惯量。则：221IEk比较平动动能和转动动能，J相当于miiirmI2二转动惯量2iiirmI质量不连续的物体质量连续分布的物体dmrI2刚体的转动惯量决定于刚体各部分的质量对给定转轴的分布刚体的质量大小转轴的位置质量的分布•例1：边长为a的正三角形ABC，顶点上各有一个质量为m的质点，绕过AB中点O与平面垂直的轴转动，角速度为，求该系统的转动惯量和转动动能。ABCOa解：转动惯量2iiirmI222)23()2()2(amamam245ma转动动能221IEk2222854521mama例2求质量为m，长为l的均匀细棒对下列转轴的转动惯量。过中心并垂直棒的轴；过端点并垂直棒的轴；距中心为h并垂直棒的轴。dmrI20dxxll2222121mlmlodmxdxdmlmdxx解mldmrI2dmxdxxl02231mlxdxoomlhdxxIhlhlh2)2(2xoo22121mhml20mhIIh——平行轴定理Cd2mdIIC刚体对某一轴的转动惯量，等于通过质心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两轴线之间距离平方的乘积。平行轴定理例：求均匀圆盘(m,R)对过质心且垂直于盘面的轴的转动惯量rdrdm2dmrI2rdrrIR202221mRI[问题]半径为R质量为m的均匀圆环,对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量mm221mRI2mRI[练习]求半径为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量。Rddmr解：圆环的质量密度为Rm2在环上取质量元dm，dm距转轴rdldmRdcosRrmdmrI22022cosRdR3R221mRRddmcosRrRddmr常见刚体的转动惯量薄圆盘221mrJr球体252mrJ细棒细棒231mlJ2121mlJ三、回转半径rG2GmrJ从物体对转轴的旋转效应看，物体的质量好象集中在离轴距离为rG的一个圆周上。22RmJ四、刚体的重力势能可看作是将质量集中在质心的质点所具有的重力势能。iiiPghmEiiPighmEcmgh§4-3刚体的定轴转动定律一、力矩1、力在转动平面内：FrMFrφdM大小：sinrFM方向：MFrFrφdM2、力不在转动平面内：FFF21r转动平面)(21FFrFrM只能引起轴的变形，对转动无贡献。1Fr•3合力矩•每个外力都对刚体有一绕轴的力矩iiiFrMiiMM几个外力同时作用在刚体上，它们的作用相当于这几个力的力矩的代数和，这就是合力矩。力矩反映力对刚体的作用：力矩越大，刚体越容易转动。•使刚体逆时针转动，力矩为正；•使刚体顺时针转动，力矩为负。力矩的正负：二转动定律•1第一定律：刚体所受的合外力矩为零时，它将保持原有的角速度不变。转动惯性•2第二定律：刚体在合外力矩M的作用下，所获得的角加速度与合外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比。dtdIIM证明如下：00’imirifiFiiiniiiiiamfFcoscositiiiiiamfFsinsinir2iiiiiiiiiiirmrfrFsinsin0MIIM例：设机器上飞轮的转动惯量为63.6kgm2，转动角速度为31.4rads-1，在阻力矩作用下，飞轮经过20s停止转动。求阻力矩。解：dtdIIMtIM)(100204.316.63mN例一匀质圆盘(R、m)，平放在粗糙的水平面上，磨擦系数为，盘最初以角速度0绕过中心且垂直盘面的轴转动，问它需多少时间才能停止转动？解：取质量元dsdm——质量面密度2RmSmrdrdsdm2rdrR质量元所受的摩擦力dmgdmdfrrdrg2摩擦力矩元rrrdfdMdrrg22摩擦力矩rrdMMdrrgR202mgR32221mRIdtdIIM由有：dtdmR221mgR32tdtg032设圆盘经时间t停止转动，则有0021dR由此求得043gRt问题：它转多少圈才能停止转动？dtdmR221mgR32dddmRmgRd22132dmR20021mgRd320gR83202ngR16320例：一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别悬挂质量为21mm,的物体，且21mm`。设滑轮质量为m，半径为r，其转轴上所受的摩擦力矩为rM。绳与滑轮间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。r1m1m2m2mgm1gm21T1T2T2TaaaarMaIMamgmTamgmT2221111m2mgm1gm21T1T2T2TarMIMrTrTamTgmamgmTr12222111ra221mrI22112mmmrMgmmar)()()(agmTagmT2211IrmmMgrmmr22112)()([练习]在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各挂质量为m1、m2的物体。如滑轮与轴间的摩擦不计，滑轮的转动惯量为I。求滑轮的角加速度及各绳中的张力T1、T21m2m1R2R1mgm11T2mgm22T'2T'1T解：设m1向下运动1111amTgm2222amgmTIRTRT221111Ra解得gRmRmIRmRm222211221122RagmRmRmIRRmRmIT12222112122221gmRmRmIRRmRmIT22222112112112例：一飞轮的转动惯量为J，在t=0时的角速度为0，此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度的平方成正比，比例系数为k，当=0/3时，飞轮的角加速度=？从开始制动到=0/3所经历的时间t=?2kMIMIkIk9)3(2020解：dtdIkM2dtdIk2tdtIkd03120002kIt与一维质点动力学方法一致§4-4力矩的功刚体定轴转动的动能定理00rFrdd由功的定义式：iiirdFdAdrFiisindMdAii一力矩的功drFiicos外力矩的元功FrMsinrFM21MdA合外力矩使刚体21所作的功为：注意：M是合外力矩dMAii21iiiidMAA21问题：为何不考虑内力作功？两质点间成对内力的功决定于两质点的相对位移!二、转动的动能定理由转动定律dtdIIM合外力矩的元功MddAddtdIdI对上式两边取定积分2121dIMd定轴转动的动能定理21222121IIA合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。2121dIMd关于质点系的功能原理、机械能守恒定律也可以应用到刚体或刚体和质点组成的系统。例一均质细杆质量为m、长为l，一端固定，求其从水平位置转过角时A端的速率?Aa加速度?Avm、lOAAAv解mgOl21222121IIA由021cos220Idlmg231mlIlvA解得singlvA3dtdgldtvdaAt21sin213sin32glvaAnA点的法向加速度：如何求at?singlvA3cos23gat由机械能守恒定律来求m、lOAAAv221sin20IlmglvA结果相同例：一飞轮的质量为200kg，回转半径为2m。当这飞轮以每分钟120转的速率转动时，停止制动。（1）如果飞轮在5分钟内停止，试求轴上的摩擦施于飞轮的阻力矩；（2）在这期间，阻力矩所作的功是多少？解：飞轮的转动惯量2GmRI228002200mkg（1）tnt60/200IM60560/1202800)(5.33mN（2）21222121IIA20210IA)(1032.6)602(2142JnI由转动定律由转动的动能定理[练习]：高8米的光秃树干（设树干是均匀的，且上下一样粗），在施工中被锯断而倒向地面。求：（1）树干触地时的角速度；（2）顶端触地时的速度。解：（1）由功能原理，2212Ilmg231mlIlg3192.188.93srad（2）顶端刚触地时的速度lv14.15892.1sm§4-5定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律一刚体的角动量1质点的角动量rPprLsinrpL大小方向右手螺旋单位kgm2s-12、刚体的角动量问题：任一刚体绕定轴以转动其角动量为多少？M00XθαviRPi在刚体上取质元Pi，它相对于O的角动量为：iiiimRLv)(iiiRRm大小：sin2iiiRmLM00XαviRPiiriirRsinsin2iiiRmL所以在Z轴上的分量为：2iiiizrmLLsinIrmLLiiiiizz2刚体对转轴的角动量等于刚体的转动惯量乘以刚体的角速度。ILIL矢量式3刚体转动定律dtdIIMdtLddtIdM)(刚体对某给定轴的角动量对时间的变化率等于刚体受到的对该轴的合外力矩。比较：amFdtPdF二定轴转动刚体的角动量定理dtLdMdLMdt0000IILddtMLLttdtMtt0冲量矩力矩对时间的累积效应角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转动刚体的动量矩的增量。矢量形式：0000IILddtMLLtt