02消费者理论：需求2007春

消费者理论陈钊张晏复旦大学经济学院复旦大学中国社会主义市场经济研究中心（2007春季；数理经济学班）版权所有，仅供复旦大学学生学习使用，未经允许请勿擅自引用或传播PublicFinanceConsumer’sTheory2Whathavewelearned?偏好偏好（理性偏好）偏好公理效用代表偏好的效用函数性质消费者问题用偏好表示用效用表示PublicFinanceConsumer’sTheory3Whathavewelearned?ModernConsumerTheory：在消费者偏好基础上完全重新阐释消费者行为理论在现代理论中，效用函数仅仅是一个归纳消费者偏好所包含的信息的方便工具偏好关系无差异曲线效用函数“Represent”PublicFinanceConsumer’sTheory4补充说明偏好假设（or理性偏好or一致偏好）对于现代消费者理论是必需的吗？No显示偏好从消费者的选择行为出发研究消费者的需求规律PublicFinanceConsumer’sTheory5需求马歇尔需求函数与间接效用函数希克斯需求函数与支出函数几个重要的恒等式需求函数的性质与禀赋PublicFinanceConsumer’sTheory6二、个人选择与比较静态分析(间接效用函数与支出函数)TheConsumer’sChoiceandComparativeAnalysis：IndirectUtilityandExpenditureFunctionPublicFinanceConsumer’sTheory7消费者问题的假设消费者偏好具有完备性、可传递性、连续性、严格单调性和严格凸性。代表该偏好的效用函数u(x)连续、严格递增、严格拟凹。定义在上直接代表偏好的效用函数u(x)也被称为直接效用函数。市场经济(MarketEconomy)价格p不受消费者行为影响，p»0可行集B：竞争性预算集B={x0|p·xm},m0B是紧集（有限闭集）解的存在性与唯一性n+XRPublicFinanceConsumer’sTheory8TheConsumer’sProblem问题：消费者在可行集上按照定义在上的偏好关系选择最偏好的可行选择：x*B使得xB都有x*x问题：效用最大化Maxx0u(x)s.t.pxmn+BRn+RMaxx0u(x)s.t.px＝mPublicFinanceConsumer’sTheory92.1间接效用函数由解的存在性和唯一性定理，效用最大化问题：Maxx0u(x)s.t.px=m存在唯一的解，记为x(p,m)，也称为马歇尔需求函数从而：u(x)=u(x(p,m))≡v(p,m)v(p,m)称为间接效用函数Def：间接效用函数v(p,m)是效用最大化问题的值函数：v(p,m)＝Maxx0u(x)s.t.px=mPublicFinanceConsumer’sTheory10间接效用函数构造拉格朗日函数：L(x,λ,p,m)=u(x1,x2)+λ(m-p1x1-p2x2)显然，由包络定理（多参数情况），有：***(,)mmx.vpmL**i**ii(,)(,)px.vpmxpmpLmv),(mpxvipiPublicFinanceConsumer’sTheory11间接效用函数的性质假设u(x)连续、递增；p»0，m0。Prop.1：v(p,m)在上是连续函数Prop.2：v(p,m)是(p,m)的零次齐次函数v(tp,tm)=v(p,m),t0证明：t0,B(tp,tm)=B(p,m),从而x(tp,tm)=x(p,m),v(tp,tm)=v(p,m)。nRRPublicFinanceConsumer’sTheory12间接效用函数的性质Prop.3：v(p,m)是m的递增函数（U存在，则偏好满足单调性，则必满足非饱和。）证明1：mm’，B(p,m)B(p,m’)，从而v(p,m)v(p,m’)。证明2：若u(x)可微，则由包络定理，若偏好还满足局部非饱和性，v(p,m)是m的严格递增函数Prop.4：v(p,m)是p的递减函数证明1：pp’，B(p’,m)B(p,m)，从而v(p,m)v(p’,m)。证明2：若u(x)可微，则由包络定理：*/0vm**/0vpxPublicFinanceConsumer’sTheory13间接效用函数的性质Prop.5：Roy’sIdentity若v(p,m)在(p,m)处可微，且，则：证明1：包络定理(p,m)/(p,m)(p,m)/miivpxv/0vm***(,)mmx.vpmL**i**ii(,)(,)px.vpmxpmpLmv),(mpxvipiPublicFinanceConsumer’sTheory142.2支出函数v(p,m)对m递增，若偏好还满足局部非饱和性，则v(p,m)对m严格递增。从而间接效用函数有反函数：给定效用水平u，都可以找到价格p下实现u的最小收入m支出最小化问题(EMP)Minxe=p·xs.t.u(x)=u如果u(x)连续，EMP一定存在最小值如果u(x)是连续严格拟凹函数，那么最优解唯一最优解：h(p,u)PublicFinanceConsumer’sTheory15支出最小化问题效用最大化问题（UMP）：Maxx0u(x)s.t.p·x=mx(p,m):马歇尔需求函数(Marshalliandemandfunction)支出最小化问题（EMP）：Minx0p·xs.t.v(p,m)=u(x)h(p,u):也称为希克斯需求函数（Hicksiandemandfunction）或补偿需求函数PublicFinanceConsumer’sTheory16支出函数(ExpenditureFunction)Def：支出函数e(p,u)是支出最小化问题的值函数：e(p·u)＝Minx0p·xs.t.u(x)=uL(.)=p·x+λ[u–u(x)]显然，由包络定理，有：*i**iie(,u)h(,u)px.pppL*/0euPublicFinanceConsumer’sTheory17支出函数的性质Prop.1：e(p,u)在上是连续函数Prop.2：e(p,u)是p的一次齐次函数e(tp,u)=te(p,u),t0证明：设x是(p,u)下支出最小化问题的解。假设x不是(tp,u)下支出最小化问题的解，记x’是价格tp下的最优消费束。则e(tp,u)=tp.x’tp.x价格提高，但可行消费束可在无差异曲线上变化，使预算不同倍增长而是小一些增长。u(x’)u此条件才有px’px(x’在x解集中或更多）由t0，有：p.x’p.x,x不是价格p下最小化支出的消费束，矛盾。从而x也是价格tp下最小化支出的消费束，e(tp,u)=tp.x=te(p,u)。nRUPublicFinanceConsumer’sTheory18支出函数的性质Prop.3：e(p,u)是u的递增函数证明1：B(p,u)B(p,u’)，uu’证明2：若e可微，由包络定理，Prop.4：e(p,u)是p的递增函数证明：设x1、x2分别是p1、p2下的最优消费束，p1≤p2。则：p1x1≤p1x2≤p2x2。见前页*/0euPublicFinanceConsumer’sTheory19支出函数的性质Prop.5：e(p,u)是p的凹函数（v是p的拟凸函数绿皮)证明：设x1、x2分别是p1、p2下的最优消费束，t0，设pt=tp1+(1-t)p2，xt是pt下的最优消费束，则：e(pt,u)=ptxt=tp1xt+(1-t)p2xt≥tp1x1+(1-t)p2x2，即e(pt,u)≥te(p1,u)+(1-t)e(p2,u)，从而e(p,u)对p凹。PublicFinanceConsumer’sTheory20支出函数的性质Prop.6：Shephard’sLemma若e(p,u)对p可微，且pi0，则：证明1：包络定理L(x,λ,p,u)=p·x+λ[u-u(x)]iie(,u)h(,u)ppp),()()(uphxpLpeiiiiPublicFinanceConsumer’sTheory212.3几个重要的恒等式效用最大化问题（UMP）：Maxx0u(x)s.t.px=mx(p,m)，马歇尔需求函数支出最小化问题（EMP）：Minx0pxs.t.v(p,m)=u(x)h(p,u)，希克斯需求函数PublicFinanceConsumer’sTheory22效用最大化(UMP)与支出最小化(EMP)效用最大化问题(UMP)的解是给定最大化效用水平下支出最小化(EMP)问题的解：x(p,m)=h(p,v(p,m))支出最小化问题(EMP)的解是给定最小化花费水平下效用最大化问题的解：h(p,u)=x(p,e(p,u))Minx0pxs.t.v(p,m)=u(x)Maxx0u(x)s.t.p.x=mPublicFinanceConsumer’sTheory23几个重要的恒等式普通(马歇尔)需求函数与补偿（希克斯）需求函数：x(p,m)≡h(p,v(p,m))h(p,u)≡x(p,e(p,u))类似的，间接效用函数与支出函数也有两个重要的恒等式：u≡v(p,e(p,u))m≡e(p,v(p,m))PublicFinanceConsumer’sTheory242.4需求函数的性质因为x(tp,tm)=x(p,m),所以：x(p,m)=x(p1/pn,p2/pn,….,1,m/pn)AbsenceofMoneyIllusion(RelativePrice,RealIncome&Numerair)PublicFinanceConsumer’sTheory252.4.1比较静态分析收入扩展线：价格固定不变，收入m变化时最优商品组合的轨迹Engel曲线：价格固定不变，收入m变化时第i种商品需求的变化价格提供线(PriceOffer)：收入固定不变，价格变化时最优商品组合的轨迹图示&含义PublicFinanceConsumer’sTheory26收入扩展线&Engel曲线CournotAggregation:EngelAggregation:PublicFinanceConsumer’sTheory272.4.2Slutsky’sEquation支出最小化问题(EMP)的解是给定最小化花费水平下效用最大化问题的解：h(p,u)=x(p,e(p,u))绿皮127对pi求偏导：Xi(p,m)=Xi(p1,p2…,m),求导时除pj外都为0iiiujjjh(,u)x(,m)x(,m)e(,m)ppmpppppiiijujjx(,m)h(,u)x(,m)h(p,u)ppmpppuPublicFinanceConsumer’sTheory28Slutsky’sEquationSlutsky’sEquation:其中，u=v(p,m)。iiijjjx(,m)h(,u)x(,m)x(p,m),ppmppp替代效应收入效应PublicFinanceConsumer’sTheory29x0x1xhHicks补偿x0=x(p0,m)x1=x(p1,m)xh=h(p1,u0)=x(p1,m+m)x2x1om/p2u1u0替代效应&收入效应(SubstitutionEffect&IncomeEffect)PublicFinanceConsumer’sTheory30SubstitutionEffect&