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2017年普通高等学校招生全国统一考试1卷文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合A={x|x2}，B={x|3–2x0}，则()A．A∩B={x|x32}B．A∩B=ΦC．A∪B={x|x32}D．A∪B=R2、为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田。这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数3、下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1+i)2B．i2(1–i)C．(1+i)2D．i(1+i)4、如下左1图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A．14B．π8C．12D．π45、已知F是双曲线C：x2–y23=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)。则△APF的面积为()A．13B．12C．23D．326、如上左2–5图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是()7、设x，y满足约束条件x+3y≤3x–y≥1y≥0，则z=x+y的最大值为()A．0B．1C．2D．38、函数y=sin2x1–cosx的部分图像大致为()9、已知函数f(x)=lnx+ln(2–x)，则()A．f(x)在(0,2)单调递增B．f(x)在(0,2)单调递减C．y=f(x)的图像关于直线x=1对称D．y=f(x)的图像关于点(1,0)对称10、如图是为了求出满足3n–2n1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A．A1000和n=n+1B．A1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知sinB+sinA(sinC–cosC)=0，a=2，c=2，则C=()A．π12B．π6C．π4D．π312、设A、B是椭圆C：x23+y2m=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9,+∞)B．(0,3]∪[9,+∞)C．(0,1]∪[4,+∞)D．(0,3]∪[4,+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、已知向量a=(–1,2)，b=(m,1)。若向量a+b与a垂直，则m=______________。14、曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为_________________________。15、已知α∈(0,π2)，tanα=2，则cos(α–π4)=__________。16、已知三棱锥S–ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S–ABC的体积为9，则球O的表面积为________。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17、(12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2=2，S3=–6。(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。18、(12分)如图，在四棱锥P–ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°。(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P–ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积。19、(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx，16162221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，1621(8.5)18.439ii，161()(8.5)2.78iixxi，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,...,16．(1)求(xi,i)(i=1,2,...,16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x–3s,x+3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(x–3s,x+3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差(精确到0.01)．附：样本(xi,yi)(i=1,2,...n)的相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，0.008≈0.09．20、(12分)设A，B为曲线C：y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4。(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程。21、(12分)已知函数f(x)=ex(ex–a)–a2x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22、[选修4―4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cosθy=sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x=a+4ty=1–t(t为参数)。(1)若a=−1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为17，求a。23、[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)=–x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x–1|。(1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1]，求a的取值范围。参考答案一、选择题：A、B、C、D、AA、D、C、C、DB、A二、填空题：13、7；14、y=x+1；15、31010；16、36π；三、解答题：17、解：(1)设{an}的公比为q，由题设可得a1(1+q)=2a2(1+q+q2)=–6，解得q=–2，a1=–2。故{an}的通项公式为an=(–2)n。(2)由(1)可得Sn=a1(1–qn)1–q=–23+(–1)n2n+13。由于Sn+2+Sn+1=–43+(–1)n2n+3–2n+23=2[–23+(–1)n2n+13]=2Sn。故Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列。18、解：(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°，得AB⊥AP，CD⊥PD。由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD。又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD。(2)在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E。由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD。设AB=x，则由已知可得AD=2x，PE=22x。故四棱锥P–ABCD的体VP–ABCD=13AB·AD·PE=13x3。由题设得13x3=83，故x=2。从而PA=PD=2，AD=BC=22，PB=PC=22。可得四棱锥P–ABCD的侧面积为12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC2sin60°=6+23。19、解：(1)由样本数据得(xi,i)(i=1,2,...,16)的相关系数为16116162211()(8.5)2.780.180.2121618.439()(8.5)iiiiixxirxxi由于|r|0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。(2)①由于x=9.97，s≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x–3s,x+3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查。②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为115(16×9.97–9.92)=10.02。这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02，162221160.212169.971591.134iix，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为115(1591.134–9.222–15×10.022)≈0.008。这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09。20、解：(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1≠x2，y1=x124，y2=x224，x1+x2=4，于是直线AB的斜率k=y1–y2x1–x2=x1+x24=1。(2)由y=x24，得y'=x2，设M(x3,y3)，由题设知x32=1，解得x3=2，于是M(2,1)。设直线AB的方程为y=x+m代入y=x24得x2–4x–4m=0。当△=16(m+1)0，即m–1时，x=2±2m+1，从而|AB|=2|x1–x2|=42(m+1)。由题设知|AB|=2|MN|，即42(m+1)=2(m+1)，解得m=7。所以直线AB的方程为y=x+7。21、解：(1)函数f(x)的定义域为(–∞,+∞)，f'(x)=2e2x–aex–a2=(2ex+a)(ex–a)。①若a=0，则f(x)=e2x，在(–∞,+∞)单调递增。②若a0，则由f'(x)=0得x=lna。当x∈(–∞,lna)时，f'(x)0；当x∈(lna,+∞)时，f'(x)0；故f(x)在(–∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增。③若a0，则由f'(x)=0得x=ln(–a2)。当x∈(–∞,ln(–a2))时，f'(x)0；当x∈(ln(–a2),+∞)时，f'(x)0；故f(x)在(–∞,ln(–a2))单调递减，在(ln(–a2),+∞)单调递增。(2)①若a=0，则f(x)=e2x，所以f(x)≥0。②若a0，则由(1)得，当x=lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)=–a2lna，从而当且仅当–a2lna≥0，即a≤1时，f(x)≥0。③若a0，则由(1)得，当x=ln(–a2)时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln(–a2))=a2[34–ln(–a2)]，从而当且仅当a2[34–ln(–a2)]≥0，即a≥–2e3/4时，f(x)≥0。综上，a的取值范围是[–2e3/4,1]。22、解：(1)曲线C的普通方程为x29+y2=1，当a=–1时，直线l的普通方程为x+4y–3=0。由x+4y–3=0x29+y2=1，解得：x=3y=0或x=–2125y=2425，从而C与l的交点坐标为(3,0)，(–2125,2425)。(2)直线l的普通方程为x+4y–a–4=0，故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=|3cosθ+4sinθ–a–4|17。当a≥–4时，d的最大值为a+917，由题设得a+917=17，所以a=8；当a–4时，d的最大值为–a+117，由题设得–a+117=17，所以a=–16；综上a=8或a=–16。23、解：(1)当a=1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2–x+|x+1|+|x–1|–4≤0①当x–1时，①式化为x2–3x–4≤