高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 25个必考问题 专项突破《必考问题23 矩阵与变换》课

必考问题23矩阵与变换返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛抓住命题方向返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【真题体验】1．(2012·江苏，21­B)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝－143412－12，求矩阵A的特征值．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝－143412－12，所以A＝(A－1)－1＝2321，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛2．(2011·江苏，21­B)已知矩阵A＝1121，向量β＝12.求向量α，使得A2α＝β.解A2＝11211121＝3243，设α＝xy，由A2α＝β得，3243xy＝12，从而3x＋2y＝14x＋3y＝2，解得x＝－1，y＝2.所以α＝－12.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛3．(2010·江苏，21­B)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k为非零实数，矩阵M＝k001，N＝0110，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解由题设得，MN＝k0010110＝0k10，由0k100－2－2001＝00k0－2－2，可知A1(0,0)、B1(0，－2)、C1(k，－2)．计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|＝2×1＝2.所以k的值为2或－2.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算；(2)二阶矩阵的逆矩阵及其求法；(3)矩阵的特征值与特征向量的求法．本内容考查主要属B级要求返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【应对策略】《考试说明》对这些内容是B级要求，一般说来，题目的难度也不大，抓基础知识的理解和基本方法的运用仍然是复习的重点，在复习中特别需要注意的就是紧扣《考试说明》的要求，把握好“度”．值得指出的是，待定系数法在矩阵中有着广泛的应用，复习中要引起足够的重视．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备知识方法返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备知识1．矩阵的乘法与逆矩阵(1)a11a21a12a22b11b21b12b22＝a11b11＋a12b21a21b11＋a22b21a11b12＋a12b22a21b12＋a22b22.(2)若二阶矩阵A，B满足AB＝BA＝E(E为二阶单位矩阵)，则称A是可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为B＝A－1.2．矩阵对应的变换矩阵M＝acbd对应的变换T：(x，y)→(x′，y′)满足xy→x′y′＝acbdxy＝ax＋bycx＋dy.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛3．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)设λ是二阶矩阵M＝acbd的一个特征值，它的一个特征向量为α＝xy，则有Mxy＝λxy.(2)f(λ)＝λ－a－c－bλ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc为矩阵M＝acbd的特征多项式．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0，此时将λ代入ax＋by＝λx，cx＋dy＝λy可得到一组非零解x0y0，它即为M的属于λ的一个特征向量．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备方法1．熟练掌握二阶矩阵与列向量的运算的运算法则，注意不能将列向量写在二阶矩阵左边；使用待定系数法过程中务必注意解方程或方程组的准确性，检验是一个好习惯．2．已知曲线C的方程，求变换后的曲线C1的方程的过程分三步：(1)将目标曲线C1上的任意一点的坐标(x，y)用曲线C上对应点的坐标(x′，y′)表示；(2)用x，y反表示x′，y′；(3)将x′，y′带回曲线C的方程，得到x，y的等式，该等式即所求曲线C1的方程．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛3．记忆特征多项式，和这类问题的求解步骤：理解特征值与特征向量理论abcdxy＝λxy⇔λ－ax－by＝0，－cx＋λ－by＝0.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛热点命题角度返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度一二阶矩阵与平面变换[命题要点](1)二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法运算；(2)二阶矩阵与平面变换；(3)根据条件求二阶矩阵中待定的参数值．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例1】►若直线y＝kx在矩阵0110对应的变换作用下得到的直线过点P(4,1)，求实数k的值．[审题视点]根据y＝kx在0110的变换下得到的直线过P(4，1)可求k.[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解设变换T：xy→x′y′，则x′y′＝0110xy＝yx，即x＝y′，y＝x′，代入直线y＝kx得，x′＝ky′，将点P(4,1)代入得，k＝4.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解决这类问题一般是设变换T：xy→x′y′，求出原曲线在T的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【突破训练1】(2012·南京、盐城模拟)已知曲线C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵A＝1002对应的变换，再作矩阵B＝0b10对应的变换，得到曲线C2：x24＋y2＝1.求实数b的值．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵为BA＝0b101002＝02b10.在曲线C1上任意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有02b10x0y0＝x′y′，即2by0x0＝x′y′.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛故2by0＝x′，x0＝y′.解得y0＝12bx′x0＝y′.代入曲线C1方程得，y′2＋12bx′2＝1.即曲线C2方程为：12b2x2＋y2＝1.与已知的曲线C2的方程x24＋y2＝1比较得(2b)2＝4.所以b＝±1.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度二二阶矩阵的逆矩阵及其求法[命题要点](1)求已知矩阵的逆矩阵；(2)利用逆矩阵解二元一次方程组．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例2】►二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．求矩阵M的逆矩阵M－1.[审题视点]点(－1，－1)与(0，－2)在M－1的变换成(1，－1)与(－2,1)，由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，求矩阵．[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解设矩阵M的逆矩阵M－1＝abcd.由题意得，abcd－1－1＝1－1，abcd0－2＝－21，∴－a－b＝1，－c－d＝－1；－2b＝－2，－2d＝1.b＝1，c＝32，d＝－12，a＝－2.∴M－1＝－2132－12.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【突破训练2】二阶矩阵M对应的变换TM将曲线x2＋x－y＋1＝0变为曲线2y2－x＋2＝0.求M－1返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解设曲线2y2－x＋2＝0上一点P(x，y)在M－1对应变化下变成P(x′，y′)，设M－1abcd，x′＝ax＋by，y′＝cx＋dy，代入x2＋x－y＋1＝0得，方程(ax＋by)2＋(ax＋by)－(cx＋dy)＋1＝0，即b2y2＋(a－c)x＋(b－d)xy＋2abxy＋a2x2＋1＝0，方程y2－x2＋1＝0比较得a＝0，b＝1，c＝12，d＝1或a＝0，b＝－1，c＝12，d＝－1.所以M－1＝0－112－1，或M－1＝01121.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度三特征值与特征向量[命题要点](1)求二阶矩阵的特征值与特征向量；(2)已知一个特征值与特征向量，求另一个已知一个特征值与特征向量；(3)利用特征值与特征向量计算Anα.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例3】►(2012·徐州质量检测)已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e1＝11，并且M对应的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵M.[审题视点]设M＝abcd，由特征值与特征向量的关系和点变换的规律建立方程组．[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解设M＝abcd，则abcd11＝311＝33，故a＋b＝3，c＋d＝3.abcd－12＝915，故－a＋2b＝9，－c＋2d＝15.联立以上两方程组解得a＝－1，b＝4，c＝－3，d＝6，故M＝－14－36.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛求矩阵M＝abcd就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【突破训练3】(2012·南通模拟)已知矩阵122a的属于特征值b的一个特征向量为11，求实数a、b的值．解由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知，122a11＝b11，所以b＝3，b＝a＋2，解得a