正余弦定理练习题(学生讲义)

1正弦定理正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即Aasin=Bbsin=Ccsin=2R（R为△ABC外接圆半径）1．直角三角形中：sinA=ca，sinB=cb，sinC=1即c=Aasin，c=Bbsin，c=Ccsin．∴Aasin=Bbsin=Ccsin2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=AbcBacCabsin21sin21sin21两边同除以abc21即得：Aasin=Bbsin=Ccsin证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴RCDDaAa2sinsin同理Bbsin=2R，Ccsin＝2R证明三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC由AC+CB=AB两边同乘以单位向量j得j•(AC+CB)=j•AB则j•AC+j•CB=j•AB∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=|j|•|AB|cos(90A)∴AcCasinsin∴Aasin=Ccsin同理，若过C作j垂直于CB得：Ccsin=Bbsin∴Aasin=Bbsin=Ccsin正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:abcOBCAD2)(ba),(babsinA)(bsinAasin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Abababababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH⑵若A为直角或钝角时:)(ba锐角一解无解ba三、讲解范例：例1已知在BbaCAcABC和求中，,,30,45,1000例2在CAacBbABC,,1,60,30和求中，例3CBbaAcABC,,2,45,60和求中，3例4已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用正弦定理测试题1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于()A.6B.2C.3D．262．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．42B．43C．46D.3233．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不确定5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝()A．1B.12C．2D.146．在△ABC中，若cosAcosB＝ba，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为()A.32B.34C.32或3D.34或328．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()A.6B．2C.3D.29．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π3，则A＝________.10．在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝________，c＝________.14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csinA－2sinB＋sinC＝________.415．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________.16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sinC2cosC2＝14，sinBsinC＝cos2A2，求A、B及b、c.19．(2014年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos2A＝35，sinB＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．20．△ABC中，ab＝603，sinB＝sinC，△ABC的面积为153，求边b的长．5余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即Abccbacos2222bcacbA2cos222Bacacbcos2222cabacB2cos222Cabbaccos2222abcbaC2cos222[问题]对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？[推导]如图在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b∵BCABAC∴)()(BCABBCABACAC222BCBCABAB22)180cos(||||2BCBBCABAB22cos2aBacc即Bacacbcos2222同理可证Abccbacos2222，Cabbaccos22222．余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角三、讲解范例：例1在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C例2在ΔABC中，已知a＝2730，b＝3696，C＝82°28′，解这个三角形cabABC6例3ΔABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A例4设a=(x1,y1)b=(x2,y2)a与b的夹角为（0≤≤），求证：x1x2+y1y2=|a||b|cos余弦定理测试题源网1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝13，那么AC等于()A．6B．26C．36D．462．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于()A.3B.2C.5D．23．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则∠B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于()A．aB．bC．cD．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()87654321-4-22468CBA7A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC中，|AB→|＝4，|AC→|＝1，△ABC的面积为3，则AB→·AC→的值为()A．2B．－2C．4D．－48．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为()A.3B．23C.3或23D．29．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________．12．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosA∶cosB∶cosC＝________.13．在△ABC中，a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________.14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________15．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c24，则角C＝________.16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．18．已知△ABC的周长为2＋1，且sinA＋sinB＝2sinC.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为16sinC，求角C的度数．819．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－π4)的值．20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．正余弦定理的综合应用1对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且32sinsinBA，求BBA的值例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列求证：sinA＋sinC＝2sinB92某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例3求sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°的值例4在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长(cossin22sin)例5已知三角形的一个角为60°，面积为103cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长评述：(1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力例6在任一△ABC中求证：0)sin(sin)sin(sin)sin(sinBAcACbCBa10例7在△ABC中，已知3a，2b，B=45求A、C及c例8在△ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程02322xx的两个根，且2cos(A+B)=1求（1）角C的度数（2）AB的长度（3）△ABC的面积例9如图，在四边形ABCD中，已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135求BC的长例10△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角;2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积11例11在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为2x，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性