全国初中数学竞赛试题汇编

全国初中数学联合竞赛试题汇编page1of401991年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1.设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则22223yxyxyxyx的值是()(A)3；(B)31；(C)2；(D)35．2.如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是()(A)10；(B)12；(C)16；(D)18．3.方程012xx的解是()(A)251；(B)251；(C)251或251；(D)251．4.已知：)19911991(2111nnx(n是自然数)．那么nxx)1(2，的值是()(A)11991；(B)11991；(C)1991)1(n；(D)11991)1(n．5.若Mn1210099321，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ()(A)能被2整除，但不能被3整除；(B)能被3整除，但不能被2整除；(C)能被4整除，但不能被3整除；(D)不能被3整除，也不能被2整除．6.若a，c，d是整数，b是正整数，且满足cba，dcb，adc，那么dcba的最大值是()(A)1；(B)5；(C)0；(D)１．7.如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是11S，全国初中数学联合竞赛试题汇编page2of4032S和13S，那么，正方形OPQR的边长是()(A)2；(B)3；(C)2；(D)3．8.在锐角ΔABC中，1AC，cAB，60A，ΔABC的外接圆半径R≤1，则()(A)21c2；(B)0c≤21；(C)c2；(D)c=2．二、填空题1.E是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是．2.已知关于x的一元二次方程02cbxax没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－1和4，那么，acb32．3.设m，n，p，q为非负数，且对一切x0，qpnmxxxx)1(1)1(恒成立，则qpnm22)2(．4.四边形ABCD中，∠ABC135，∠BCD120，AB6，BC35，CD=6，则AD=．第二试一、已知：x+y，x－y，xy，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对(x，y)．12013511S3S=132S全国初中数学联合竞赛试题汇编page3of40二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点(如图)．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格(n是自然数)，把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1.满足1abba的非负整数),(ba的个数是()(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.2.若0x是一元二次方程)0(02acbxax的根，则判别式acb42与平方式20)2(baxM的关系是()(A)M(B)=M(C)M;(D)不确定.3.若01132xx，则44xx的个位数字是()(A)1;(B)3;(C)5;(D)7.4.在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于2，则这个多边形的边数必为()(A)7;(B)6;(C)5;(D)4.5.如图，正比例函数)0(aaxyxy和的图像与反比例函数)0(kxky的图像分别相交于A点和C点.若AOBRt和COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是()(A)21SS(B)21SS(C)21SS(D)不确定6.在一个由88个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S，把圆周经过的所有小方格的圆内部分的全国初中数学联合竞赛试题汇编page4of40面积之和记为2S，则21SS的整数部分是()(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，60A，又E是底边AB上一点，且FE=FB=AC，FA=AB.则AE:EB等于()(A)1:2(B)1:3(C)2:5(D)3:108.设9321,,,,xxxx均为正整数，且921xxx，220921xxx，则当54321xxxxx的值最大时，19xx的最小值是()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11.二、填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等15cm，则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0x，则xxxx44211的最大值是__________.3.在ABC中，BAC和,90的平分线相交于P点，又ABPE于E点，若3,2ACBC，则EBAE.4.若ba,都是正实数，且0111baba，则33)()(baab.第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062axx的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.二、如图，在ABC中，DACAB,是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且ACEDBED2.求证：CDBD2.全国初中数学联合竞赛试题汇编page5of40三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651B：105263C：612305D：316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.1993年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1.多项式1612xx除以12x的余式是()(A)1;(B)-1;(C)1x;(D)1x;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形，以下四个结论中正确的是()(A)Ⅰ，Ⅱ都对(B)Ⅰ对，Ⅱ错(C)Ⅰ错，Ⅱ对.(D)Ⅰ，Ⅱ都错.3.设x是实数，11xxy.下列四个结论:Ⅰ.y没有最小值;Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.其中正确的是()(A)Ⅰ(B)Ⅱ(C)Ⅲ(D)Ⅳ4.实数54321,,,,xxxxx满足方程组.;;;;52154154354324321321axxxaxxxaxxxaxxxaxxx其中54321,,,,aaaaa是实常数，且54321aaaaa，则54321,,,,xxxxx的大小顺序是()(A)54321xxxxx;(B)53124xxxxx;(C)52413xxxxx;(D)24135xxxxx.5.不等式73)1(12xxx的整数解的个解()(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于5全国初中数学联合竞赛试题汇编page6of406.在ABC中，BCAOOA,,是垂心是钝角，则)cos(OCBOBC的值是()(A)22(B)22(C)23(D)21.7.锐角三角ABC的三边是a，b，c，它的外心到三边的距离分别为m，n，p，那么m:n:p等于(A)cba1:1:1;(B)cba::(C)CBAcos:cos:cos(D)CBAsin:sin:sin.8.13333)919294(3可以化简成(A))12(333;(B))12(333(C)123(D)123二、填空题1.当x变化时，分式15632212xxxx的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒里共有30个小球，那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程kxx)4)(1(22有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k=____________.4.锐角三角形ABC中，30A，以BC边为直径作圆，与AB，AC分别交于D，E，连接DE，把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC，设它们的面积分别为S1，S2，则S1:S2=___________.第二试一.设H是等腰三角形ABC垂心，在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小，这时乘积HBCABCSS的值变小，变大，还是不变?证明你的结论.全国初中数学联合竞赛试题汇编page7of40二.ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB，AC上分别取点D，E，使线段DE将ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.三.已知方程0022bcxxcbxx及分别各有两个整数根21,xx及21,xx，且,021xx021xx.(1)求证:;0,0,0,02121xxxx(2)求证:1b≤c≤1b;(3)求cb,所有可能的值.1994年全国初中数学联合联赛试题第一试一、选择题(本题满分48分，每小题6分)1.若0a1，则221112(1)1aaaa可化简为()A.11aaB.11aaC.1-a2D.a2-12.设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x，y，z()A．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于03.如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长()A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定4.当119942x时，多项式(4x3-1997x-1994)2001的值为()A．1B．-1C．22001D．-220015.若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角()A．4对B．8对C．12对D．16对全国初中数学联合竞赛试题汇编page8of406.若方程pxx有两个不相等的实根，则实数p的取值范围是()A.0pB.14pC.104pD.14p7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若BC=a，AC=b，AB=c，则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是()A.1()2abbccaB.2221()2abcC.2()3abbccaD.2222()3abc8.若ax=by=19942(其中a，b是自然数)，且有111xyz，则2a+b的一切可能的取值是()A．1001B．1001，3989C．1001，1996D．1001，1996，3989二、填空题1.若在关于x的恒等式222MxNcxxxaxb中，22MxNxx为最简分式，且有ab，a+b=c，则N=.2.当16x时，函数21yxxx的最大值是.3.在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=______.4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______.第二试一、(本题满分20分)如图所示，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ。求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆。全国初中数学联合竞赛试题汇编page9of40二、(本题满分20分)周长为6，面积为整数的直角三角形是否存