第六章 狭义相对论习题解答d6

1第六章狭义相对论习题解答1.证明牛顿定律在伽利略变换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。解：伽利略变换为.','','ttzzyyvtxx牛顿定律amF在系：xmF.在系有xmxmF，牛顿定律在伽利略变换下是协变的。由伽利略变换有.txxtt在系有：.0B,E,,0000tJJBtBE在系有：0,,0000BEtxxEtEJBtxxBtBE麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的2.设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为0l，它们以相同速度v相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺子上测量另一根尺的长度。2解1：102xlt系222222''31411lxvcvvtxlcctvvcc系22'51xvtxvc系将3、4代入5得0222211lcvcvlx2222011cvcvll.解2：33.静止长度为0l的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度0v向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解：00ult系①422202202111cvcvutcvutcvtt系②①代入②得22020011cvucvult4.一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，随后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差，设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致，铁塔到建筑物的地面距离已知都是0l。解：020lxt系2220222121cvcvlcvxcvt系5.光源S与接收器R相对静止，距离为0l，S-R装置浸在均匀无限的液体介质（静止折射率n）中，诚对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器到讯号所经历时间，（1）.液体介质相对于S-R装置静止。（2）.液体沿着S-R连线方向以速度v流动。（3）.液体垂直于S-R连线方向以速度v流动。解：（1）.由于介质的存在，所以光速为nc所以cnlt015（2）.由速度变换公式21cvuvuuxxx得：ncvvncux1vnclncvultx0021（3）.光的传播速度为nc因为,vuy,0tu因此222Vncux将光线在S-R连线方向上的传播速度xu变换到实验室参考系上，有：22222222111cvvnccuvcvuuyxx，由此得到系中光从S到R的时间：22222001vnccvlultx。6.在坐标系中，有两个物体都以速度u沿x轴运动，在系看来，它们一直保持距离l不变，今有一观察者以速度v沿x轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？解：6lll0t从到有：221cull①从到有221cvll②由速度变换公式有21cuvvuv③由①②得222211cucvll将③代入得：2222222222221111111cvucucvucuvlcucuvvucll722222222222222224222111111221cucuvcvculcucucvcuvcucvucuvl222211cucvl7.一把直尺相对于坐标系静止，直尺与x轴交角。今有一观察者以速度速度v沿x轴运动，他看到直尺与x轴交角有何变化？解：系系y①yy④x②221vvxx⑤xytg③xytg⑥222211cvtgcvxyxytg8.两个惯性系和中各放置若干时钟，统一惯性系中的诸时钟同步，相对于以速度v沿x轴方向运动，设两点系统圆点相遇时，0tt00，问处于系中某点（x,y,z）处的时钟与系中何处的时钟相遇时，指示的时刻相同？读数是多少？解：两时钟相遇时，8xcv-ttzzyyvtxx2①逆变换为xcvtt2②①②可得tt，xx由②得：222cv11tvcx在系中看中原点O走过的距离：r11xL0ttLt09.火箭由静止状态加速到c9999.0v，设瞬时惯性系得加速度为2s20mv，问按照静止系的时钟和火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间？解：设系是相对静止系以c9999.0v运动的坐标系dtxduxtdvdatvxxxcvtt22xxxcvu1vudtdxu9tdcuv1dt2x32x3xxcuv1adttdtduddtdua当飞船速度为c9999.0v，0ux，3aa又因为advdt所以5year.47cv1cvtggcgdvtv02v03同理52year.2t10.一平面镜以速度v自左向右运动，一束频率为0，与水平成0夹角的平面光波自右向左入射到镜面上，求反射光波的频率及反射角。垂直入射情况如何？解：坐标系建立如图：因为10ci,kk且kak所以2xxcvkkyykkzzkkxvk在系中，入射波矢1k，反射波矢2k，入射角0，由静止系中反射定律：反射角02，1202coscos在两系中，111xcosck222xcosck111xcosck222xcosck11将其代入可得111coscv1cvcoscos222coscv1cvcoscos，111coscv1222coscv1再联立122122coscv2cv1coscv1cv2cos22222cos21cos121sin11222sincos211sin11212cos1cossintg又12121221cos21若v远小于c，则012coscos12tgtg12，12若垂直入射12211vcvc1cos1cos011.在洛仑兹变换中，若定义快速度y为tanhy=，（1）证明洛仑兹变换矩阵可写为：chy00ishy01000010ishy00chya（2）对应速度合成公式1可快速表为yyy解：（1）由tany=，可得chy112，ishyitanhychyi（2）由1，可得yythythyth1ythyththyyyy12.电偶极子0p以速度v做匀速运动，求它产生的电磁势和场，A，E，B。解：在电偶极子静止坐标系系中，设其沿x轴运动，13R4zpR4Rp030，350RpRRRp341E0B，0A在系中，t时刻电磁场用（5.23）252220xzyx4zx3pE，252220yzyx4xzp3E，252220222zzyx4yxz2pE，0Bx2522220222zyxc4yxz2vpBy，2522220zzyxc4zyvp3B，2322220xzyxc4vpzA，0Ay，0Az，232220zyx4Rp，vtxx，其中用到（5.16）亦可写成紧凑式子：30RRp4r，142cvA，EE，////EE，EcvB2，0B//13.在参考系系中EB，系沿EB的方向运动，问系应以什么速度相对系运动才能使其中只有电场或只有磁场？解：因为////EE////BB，又BvEE，2/cEvBB，由题意：0EE////0BB////，若只有磁场，则0E，0BvE又)Bv//(E，0vB-E，2BEBBEv，2BBEv显然有15BCE，同理0B时，0cvE-B2，分成矢量式BEEcv22，BcE14.做匀速运动的点电荷所产生的电场在运动方向发生“压缩”，这时在电荷的运动方向上的电场E与库仑场相比较会发生减弱，如何理解这一减弱与变换公式//E=//E的关系？解：这两者之间并不矛盾，谈//E=//E时候，参考系不同，而减弱是对某参考系而言。15.有一沿z方向螺旋进动的静磁场B=0B，ymxmezsinkezcosk，其中mm2k，m为磁场周期长度。现有一沿z轴以速度v=c运动的惯性系，求在该惯性系中观察的电磁场。证明当1时该电磁场类似于一列频率为mck的圆偏振光电磁波。解：由（5.23）得到11EE11BB，322vBEE3222EcvBB，233vBEE2233EcvBB，现在160E，惯性系变换到系中，vtzkcosBvtzcoskBeEcoskBBxBm0m0xm0x，mmckrk，vtzksinBBBm0yy，可见mmckrk的圆偏振。16.有意无限长带电直线，在其静止参考系中线电荷密度为。该线电荷以速度v=c沿自身长度方向移动，在与直线距离为d的地方有一同样速度平行于直线运动的点电荷e，分别用下列两种方法求出作用在电荷上的力：（a）在直线静止系中确定力，然后用四维力变换公式；（b）直接计算线电荷和线电流作用在运动电荷的电磁力。解：在系中：（1）Q点场强r0ed2E，r0ed2eF，由力的变换公式2xxxxcvu1FFF，2xyycvu1FF，172xzcvu1FzF所以2xyycvu1FF又0ux，所以r0ed2reF，（2）在系中直接换成线电荷，21，所以r0r0edr2eed2eF17.质量为M的静止粒子衰变为两个粒子1m和2m，求粒子1m的动量和能量。解：由动量能量守恒定律0PP21，ppp21，W=W1+W2=M