解析函数的充要条件

第三讲解析函数的充要条件初等函数1.解析函数的充要条件2.举例§2.2解析函数的充要条件如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析。本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题如何判断函数的解析性呢？一.解析函数的充要条件yixyxivyxuyyxxivyyxxu)],(),([)],(),([则可导在点设函数,),(),()(iyxzyxivyxuzfwzzfzzf)()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz),(),(lim),(),(lim)],(),([)],(),([lim)()(lim)(0000)0(yzzz若沿平行于实轴的方式xvixuyiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz),(),(lim),(),(lim)],(),([)],(),([lim)()(lim)(0000)0(xzzz若沿平行于虚轴的方式yuiyvyvyui1yuxvyvxuyuiyvxvixuzf)('存在记忆yvxvyuxu定义方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).yuxvyvxu定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足Cauchy-Riemann方程yuxvyvxu上述条件满足时,有xyyyyxxxivviuviuuivuzf)('证明（由f(z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）。∵函数w=f(z)点z可导，即)(')()()(zfzzfzzfz设则f(z+Δz)-f(z)=f(z)Δz+(Δz)Δz(1),且zzfzzfzfz)()(lim)('00)(lim0zzΔu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔxbΔy+1Δx2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)f(z)=Δu+iΔv，f(z)=a+ib，(Δz)=1+i2故（1）式可写为因此Δu=aΔxbΔy+1Δx2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx1Δy0)(lim0zz0limlim200100yxyx0lim2100zyxyx0lim1200zyxyx所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足C-R方程f(z)在点z=x+iy处可导）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：yxyyuxxuu21yxyyvxxvv43)4,3,21(,0lim00，其中kkyxyixiyyviyuxxvixuviuzfzzf)()()()()()(4231yixizxvixuRC)()()(4231方程由0)(1||,1||31izxzyzxxvixuzzfzzfzfz)()(lim)(0zyizxixuizuzzfzzf)()()()(4231定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程yuxvyvxu由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.利用该定理可以判断那些函数是不可导的.使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，ii)验证C-R条件.iii)求导数：yvyuixvixuzf1)('前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.二.举例2)3()sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx；例1判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(1)设z=x+iyw=x-iyu=x,v=-y则析。在全平面不可导，不解故zwyvxuyvxvyuxu1001解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny在全平面可导，解析。故)sin(cos)(cossinsincosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx)(sincos)('zfyieyexvixuzfxx仅在点z=0处满足C-R条件，故。处可导，但处处不解析仅在02zzw解(3)设z=x+iyw=x2+y2u=x2+y2,v=0则0022yvxvyyuxxu例2求证函数.0),(),(2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw处解析，并求在证明由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：,)(22222yxxyyvxu222)(2yxxyxvyu故函数w=f(z)在z≠0处解析，其导数为22222222222221)()()(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzwDzCzfDzzf,)(,0)('若例3复常数）()(001)('2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx证明例4如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函数，且f(z)≠0，那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里C1、C2常数.那么在曲线的交点处，i)uy、vy均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为yxuuk/1yxvvk/201)('yvyuizf0不全为与yvyu解利用C-R方程ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交.ii)uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞，k2=0（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的,它们仍互相正交。?)(,,,,)()(2222在复平面内处处解析取何值时问常数若zfdcbaydxycxibyaxyxzf练习:a=2,b=-1,c=-1,d=21.指数函数2.三角函数和双曲函数3.对数函数4.乘幂与幂函数5.反三角函数与反双曲函数§2.3初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。内容简介一.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：0exp)1(zz)0exp,(xez事实上xezzfxzexp)(,)2(时为实数当)0(y))2(12§(的例见,2,1,02)expArg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx如下的指数函数定义复变数对定义.exp)(expexp)()3(zzzzf且在复平面上处处解析，右边左边设事实上)exp()]sin()[cos()]sincoscos(sinsinsincos[cos)sin(cos)sin(cosexpexp)2,1(,21212121212121221121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxxxjjj)exp(expexp:)4(2121zzzz加法定理.expzez代替为了方便，我们用以后:)(的周期性由加法定理可推得zezfZkikTzfTzf,2),()(.2)()2sin2(cos)2(,22为任意整数事实上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz这个性质是实变指数函数所没有的。zzxxzzeeeyyiyyeee111))sin()(cos(0又2121zzzzeee没有幂的意义.它的定义为仅仅是个符号，)sin(cos,)1(yiyeexzyiyexziysincos:Euler0)2(公式就得时,的实部特别当到)Im(zie求例1ie141求例21ze解方程例3xeysinie12241,2,1,02kikz)2(2cos2sin:,sincossincos,0:Ryeeyieeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy从而得到时当由指数函数的定义二.三角函数和双曲函数推广到复变数情形的正弦与余弦函数称为zeezieezzizizizi)3(2cos2sin定义周期函数是及2cossin)1Tzz]cos222)2[cos(22)2()2(zeeeeeeeeziziziiziizzizizzzzsin)'(coscos)'(sin,)2且在复平面上处处解析zeeeeizizizizizcos)(21)'(21)'(sin正弦与余弦函数的性质.cos,sin)3是偶函数是奇函数zzzzzieezizizcos)cos(;sin2)sin(同理zizezizsincosEuler,)3()4成立公式对一切式由思考题.1cos,1sin:,cos,sinzzzz有类似的结果是否与实变函数作为复变函数三角公式的加法定理可推知一些及指数函数由正弦和余弦函数定义)51cossinsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzziyxiyxiyxiyxiyxiyxsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos()4(2sin2cosishyieeiychyeeiyyyyy由正弦和余弦函数的定义得xshyixchyiyxxshyixchyiyxcossin)sin(sincos)cos(zzzzzzzzzzsin1csccos1secsincoscotcossintan其它三角函数的定义(详见P51)chyiyshyieeiyyyycos2sin)4()7当式知由)(0sin,sin)6Zkkzzz的根为即方程的零点Zkkzz2cos的零点为.1