1987-2017考研数学一真题(附答案)

跟谁学考研整理历年考研数学一真题1987-2017（答案+解析）（经典珍藏版）最近三年+回顾过去最近三年篇（2015-2017）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()fx在(,)上连续，其二阶导数()fx的图形如右图所示，则曲线()yfx在(,)的拐点个数为（A）0（B）1（C）2（D）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）2．设21123()xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则（A）321,,abc（B）321,,abc（C）321,,abc（D）321,,abc【详解】线性微分方程的特征方程为20rarb，由特解可知12r一定是特征方程的一个实根．如果21r不是特征方程的实根，则对应于()xfxce的特解的形式应该为()xQxe，其中()Qx应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),ab，同时*xyxe是原来方程的一个解，代入可得1c应该选（A）３．若级数1nna条件收敛，则33,xx依次为级数11()nnnnax的（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数1nna条件收敛等价于幂级数1nnnax在1x处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11limnnnaa，所以11()nnnnax的跟谁学考研整理收敛半径111lim()nnnnaRna，绝对收敛域为02(,)，显然33,xx依次为收敛点、发散点，应该选（B）４．设D是第一象限中由曲线2141,xyxy与直线3,yxyx所围成的平面区域，函数(,)fxy在D上连续，则(,)Dfxydxdy（）（Ａ）1321422sinsin(cos,sin)dfrrrdr（Ｂ）1231422sinsin(cos,sin)dfrrrdr（Ｃ）1321422sinsin(cos,sin)dfrrdr（Ｄ）1231422sinsin(cos,sin)dfrrdr【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：2211212122sincossinsinxyrrr221141412222sincossinsinxyrrr也就是D：43112sinsinr所以(,)Dfxydxdy1231422sinsin(cos,sin)dfrrrdr，所以应该选（B）．5．设矩阵2211111214,Aabdad，若集合12,，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件是（A）,ad（B）,ad（C）,ad（D）,ad【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()BAbadadadadadaadd跟谁学考研整理方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)rArAb，也就是120120()(),()()aadd同时成立，当然应该选（D）．6．设二次型123(,,)fxxx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123,,Peee，若132,,Qeee，则123(,,)fxxx在xQy下的标准形为（A）2221232yyy（B）2221232yyy（C）2221232yyy（D）2221232yyy【详解】132123100100001001010010,,,,QeeeeeeP，100001010TTQP211TTTTfxAxyPAPyyy所以100100100210020010010011001101001001010101TTQAQPAP故选择（A）．7．若,AB为任意两个随机事件，则（）（A）()()()PABPAPB（B）()()()PABPAPB（C）2()()()PAPBPAB（D）2()()()PAPBPAB【详解】()(),()(),PAPABPBPAB所以2()()()PAPBPAB故选择（C）．8．设随机变量,XY不相关，且213,,EXEYDX，则2(())EXXY（）（A）3（B）3（C）5（D）5【详解】222225(())()()()EXXYEXEXYEXDXEXEXEYEX故应该选择（D）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．20ln(cos)limxxx【详解】200122ln(cos)tanlimlimxxxxxx．10．221sincosxxdxx．跟谁学考研整理【详解】只要注意1sincosxx为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin.cosxxdxxdxx11．若函数(,)zzxy是由方程2coszexyzxx确定，则01(,)|dz．【详解】设2(,,)coszFxyzexyzxx，则1(,,)sin,(,,),(,,)zxyzFxyzyzxFxyzxzFxyzexy且当01,xy时，0z，所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)yxzzFFzzxyFF也就得到01(,)|dz.dx12．设是由平面1xyz和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydzxyz．【详解】注意在积分区域内，三个变量,,xyz具有轮换对称性，也就是dxdydzdxdydzdxdydzxyz1120012366314()dxdydzdxdydz()zDxyzzzdzdxdyzzdz13．n阶行列式2002120200220012．【详解】按照第一行展开，得1111212122()()nnnnnDDD，有1222()nnDD由于1226,DD，得11122222()nnnDD．14．设二维随机变量(,)XY服从正态分布10110(,;,;)N，则0PXYY．【详解】由于相关系数等于零，所以X，Y都服从正态分布，1101~(,),~(,)XNYN，且相互独立．则101~(,)XN．1111101001001022222(),,PXYYPYXPYXPYX三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sinfxxaxbxx，3()gxkx在0x时为等价无穷小，求常数,,abk的取值．【详解】当0x时，把函数1()ln()sinfxxaxbxx展开到三阶的跟谁学考研整理马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()xxfxxaxoxbxxxoxaaaxbxxox由于当0x时，(),()fxgx是等价无穷小，则有10023aabak，解得，11123,,.abk16．（本题满分10分）设函数)(xfy在定义域I上的导数大于零，若对任意的0xI，曲线)(xfy在点00(,())xfx处的切线与直线0xx及x轴所围成区域的面积恒为4，且02()f，求()fx的表达式．【详解】)(xfy在点00(,())xfx处的切线方程为000()()()yfxxxfx令0y，得000()()fxxxfx曲线)(xfy在点00(,())xfx处的切线与直线0xx及x轴所围成区域的面积为00000142()()(()()fxSfxxxfx整理，得218yy，解方程，得118Cxy，由于02()f，得12C所求曲线方程为84.yx17．（本题满分10分）设函数(,)fxyxyxy，曲线223:Cxyxy，求(,)fxy在曲线C上的最大方向导数．【详解】显然11,ffyxxy．(,)fxyxyxy在(,)xy处的梯度11,,ffgradfyxxy(,)fxy在(,)xy处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模2211()()gradfyx所以此题转化为求函数2211(,)()()Fxyxy在条件223:Cxyxy下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()Lxyxyxyxy跟谁学考研整理解方程组22212021203()()xyFxxyFyyxxyxy，得几个可能的极值点11112112,,(,),(,),(,)，进行比较，可得，在点21,xy或12,xy处，方向导数取到最大，为93.18．（本题满分10分）（1）设函数(),()uxvx都可导，利用导数定义证明(()())()()()()uxvxuxvxuxvx；（2）设函数12(),(),,()nuxuxux都可导，12()()()()nfxuxuxux，写出()fx的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(xvxuy)()()()(xvxuxxvxxuy()()()()()()()()uxxvxxuxvxxuxvxxuxvxvxuxxuv)()(xuxuxxvxuxy)()(由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()xxyuuyvxxuxuxvxuxvxxxx（2）12()()()()nfxuxuxux1121212()()()()()()()()()()()nnnfxuxuxuxuxuxuxuxuxuxux19．（本题满分10分）已知曲线L的方程为222zxyzx，起点为020(,,)A，终点为020(,,)B，计算曲线积分2222()()()Lyzdxzxydyxydz．【详解】曲线L的参数方程为2cossin,cosxtytzt起点020(,,)A对应2t，终点为020(,,)B对应2t．22222222222()()()(sincos)(cos)(cos)(cos)(cos)cosLyzdxzxydyxydzttdttdttdt22