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第22课时相似三角形及其应用第22课时┃考点聚焦考点聚焦考点1相似图形的有关概念考点聚焦归类探究回归教材相似图形形状相同的图形称为相似图形相似多边形定义如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似相似比相似多边形对应边的比称为相似比k相似三角形如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等第22课时┃考点聚焦考点2比例线段定义防错提醒比例线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即_____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位黄金分割在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果___________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比约为________一条线段的黄金分割点有______个a∶b＝c∶d0.618两ABAC＝BCAB考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃考点聚焦考点3相似三角形的判定判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形__________判定定理2如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似判定定理3如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且_______________相等，那么这两个三角形相似判定定理4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的__________________，那么这两个三角形相似拓展直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似相似比相应的夹角两个角对应相等考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃考点聚焦考点4相似三角形及相似多边形的性质三角形(1)相似三角形周长的比等于相似比(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比相似多边形(1)相似多边形周长的比等于相似比(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃考点聚焦考点5位似位似图形定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心位似与相似的关系位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行位似图形的性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于__________；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于一点；(3)位似图形对应边__________(或在一条直线上)；(4)位似图形对应角相等相似比平行考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃考点聚焦以坐标原点为中心的位似变换在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于____________位似作图(1)确定位似中心O；(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；(3)按照相似比取点；(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形k或－k考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃考点聚焦考点6相似三角形的应用几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解；(2)测量底部可以达到的物体的高度；(3)测量底部不可以到达的物体的高度；(4)测量不可以到达的河的宽度考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．比例线段；2．黄金分割在实际生活中的应用．探究一、比例线段归类探究第22课时┃归类探究例1．[2013•上海]如图22－1所示，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于()A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶5图22－1A考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃归类探究解析通过题目条件可以得到ADAB＝DEBC＝38，由于DE∥BC，EF∥AB，得到四边形DEFB是平行四边形，得到DE＝BF，BFBC＝38，所以CFBC＝58，即可以发现答案选择A.考点聚焦归类探究回归教材命题角度；1．利用相似三角形的性质求角的度数或线段的长度；2．利用相似三角形的性质探求比值关系．探究二、相似三角形的性质及其应用第22课时┃归类探究例2．如图22－2所示，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M.考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃归类探究解析(1)证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论；(2)设HE＝x，则HG＝2xcm，利用第一问中的结论求解．(1)求证：AMAD＝HGBC；(2)求这个矩形EFGH的周长．图22－2考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃归类探究解析(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH.∴∠AHG＝∠ABC.又∵∠HAG＝∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴AMAD＝HGBC.(2)由(1)得AMAD＝HGBC.设HE＝xcm，则HG＝2xcm，AM＝AD－DM＝AD－HE＝(30－x)(cm)．可得30－x30＝2x40，解得x＝12，2x＝24.所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．利用两个角判定三角形相似；2．利用两边及夹角判定三角形相似；3．利用三边判定三角形相似.探究三、三角形相似的判定方法及其应用第22课时┃归类探究例3．[2012•凉山州]如图22－3，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)求EF的长．图22－3考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃归类探究解析(1)由四边形ABCD是矩形，可得∠A＝∠D＝90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF＝∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF；(2)由(1)△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BEEF＝ABDE，又由AB＝6，AD＝12，AE＝8，利用勾股定理求得BE的长，由DE＝AD－AE，求得DE的长，继而求得EF的长．考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃归类探究解析(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°.∵EF⊥BE，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF.(2)∵△ABE∽△DEF，∴BEEF＝ABDE.∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，∴BE＝AB2＋AE2＝10，DE＝AD－AE＝12－8＝4，∴10EF＝64，解得EF＝203.考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃归类探究方法点析判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．位似图形及位似中心的定义；2．位似图形的性质应用；3．利用位似变换在网格纸里作图．探究四、位似第22课时┃归类探究例4．[2013•宁夏]如图22－4所示，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)．(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.图22－4考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃归类探究解析(1)由A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)，可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；(2)由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2.解：如图：(1)△A1B1C1即为所求；(2)△A2B2C2即为所求．考点聚焦归类探究回归教材教材母题“直角三角形斜边上的高”的模型作用第22课时┃回归教材回归教材如图22－5所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．图22－5(1)图中有哪几对相似三角形？请把它们表示出来，并说明理由；(2)AC是哪两条线段的比例中项？为什么？考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃回归教材解析(1)△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.理由略．(2)AC是AD和AB的比例中项，即AC2＝AD·AB.因为△ABC∽△ACD，所以ABAC＝ACAD，即AC2＝AD·AB.图22－6考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃回归教材中考预测如图22－6，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝()A.32B.23C.62D.63D考点聚焦归类探究回归教材第22课时┃回归教材解析在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠CDA，∵∠B＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠DAC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴△ABD∽△CAD，∴BDAD＝ADDC.∵BD∶CD＝3∶2，设BD＝3x，CD＝2x，∴AD＝3x·2x＝6x，则tanB＝ADBD＝6x3x＝63.故选D.考点聚焦归类探究回归教材