第十章§10.4第三课时二项式定理的应用

课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理第三课时二项式定理的应用课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理课前自主学习课标研读1．通过学习，进一步巩固二项式定理及其简单的应用；会用二项式定理解决某些数的近似值问题，整除问题，以及证明一些与组合数有关的恒等式，培养发散思维和灵活运用基础知识解决问题的能力．2．重点是用二项式定理解决其它数学问题，难点是整除问题的有关变形．课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理温故夯基1．(a＋b)n＝______________________________________.2．二项式系数和Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝_____.3．当n为奇数时，最大的二项式系数为________________________.当n为偶数时，最大的二项式系数为_______.2nnnnnnnnCaCabCb011L课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理知新益能用二项式的展开式研究整除、近似计算(1)当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1＋a)n≈__________.(2)对于(a＋b)n展开式通项Tr＋1＝Cnran－rbr的二项式系数Cnr的来源思想是(a＋b)n＝中用______________________________________________________________，其中b的来源方法是Cnr，故Tr＋1＝Cnran－rbr.1＋nar个因式b与(n－r)个因式a的积就是Tr＋1的因式()()()nababab个＋＋＋课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理课堂互动讲练题型一求近似值对于(1＋a)n的计算，当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1＋a)n≈1＋na，因为这时展开式的后面部分Cn2a2＋Cn3a3＋…＋Cnnan很小，可以忽略不计，类似地，有(1－a)n≈1－na，但使用这两个公式时应注意a的条件，以及计算精确度的要求．课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理求1.9975精确到0.001的近似值．【分析】因为1.9975＝(2－0.003)5，故可用二项式定理展开计算．【解】1.9975＝(2－0.003)5＝25－C51·0.003·24＋C52·0.0032·23－…≈32－0.24＋0.00072≈31.761.【点评】利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．例1课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理题型二研究整除或求余数(1)解决这类问题，必须构造一个与题目有关的二项式，如求199510除以8的余数，将1995分解为8×249＋3，即199510＝(8×249＋3)10.课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一、二项就可以了．要注意余数的范围a＝c·r＋b(b为余数，b∈[0，r)，r是除数)，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负数，要注意转换．课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理例2求7777－7被19除所得的余数．【分析】将77写成4×19＋1，出现除数19，即7777＝(76＋1)77利用二项式定理展开．课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理【解】由77＝4×19＋1可知：7777－7＝(76＋1)77－7＝C770·7677＋C771·7676＋…＋C7776·76＋C7777·1－7＝76(C7707676＋C771·7675＋…＋C7776)－6＝19×4(C770·7676＋C771·7675＋…＋C7776)－6，∴余数为13.课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理【点评】在求余数问题时要求0≤余数＜除数，若得到的数不在此范围要加上除数的整数倍，使其符合要求．课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理求证：32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)．变式训练课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理证明：∵32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝Cn＋108n＋1＋Cn＋118n＋…＋Cn＋1n8＋Cn＋1n＋1－8n－9＝Cn＋108n＋1＋Cn＋118n＋…＋Cn＋1n－182＋(n＋1)·8＋1－8n－9＝64(Cn＋108n－1＋Cn＋118n－2＋…＋Cn＋1n－1)．又∵Cn＋108n－1＋Cn＋118n－2＋…＋Cn＋1n－1为整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除．课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理题型三用二项展开式证明不等式对于二项式的有关幂形式的不等式，可借助于其展开式进行化简．课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理例3求证：对一切n∈N*，都有2≤(1＋1n)n3.【思维流程】展开1＋1nn→观察各项特点→放缩展开式课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理【证明】∵(1＋1n)n＝Cn0＋Cn1·1n＋Cn2·(1n)2＋Cn3·(1n)3＋…＋Cnn·(1n)n＝1＋1＋12！·(n－1n)＋13！·(n－1n)·(n－2n)＋…＋1n！·(n－1n)(n－2n)…(1n)．课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理∴2(1＋1n)n2＋12！＋13！＋…＋1n！2＋11·2＋12·3＋…＋1(n－1)n＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1－1n)＝3－1n3，仅当n＝1时，(1＋1n)n＝2；当n≥2时，2(1＋1n)n3.∴对一切n∈N*，都有2≤(1＋1n)n3.课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理【思维总结】(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证；(2)应用时应注意巧妙地构造二项式；(3)证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉，或增加某些项．课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理概念模糊，变形出错9911被100除所得的余数为________．【错解】9911＝(100－1)11＝10011－C111·10010＋…－C119·1002＋C1110×100－1，前11项能被100整除，故余数为－1，思维误区警示例课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理【错因】余数概念模糊，不能为负数．【自我挑战】9911＝(10011－C111×10010＋…－C119×1002)＋1100－1，∴1099被100除余数为99，∴所求余数为99.故填99.课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理规律方法总结二项式定理的应用是多方面的，总体来说主要集中在：1．利用展开式的通项式．2．利用展开式本身及展开思想．课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理随堂即时巩固1．5510被8除的余数是()A．1B．2C．3D．4解析：选A.5510＝(56－1)10＝5610－C101×569＋C102×568＋…－C109×56＋1，除1之外的所有项都能被8整除．课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理2．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34解析：选D.1.056＝(1＋0.05)6≈C60＋C61×0.051＋C62×0.052≈1.34.课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理3．(x＋2)6的展开式中x3的系数为()A．20B．40C．80D．160解析：选D.由二项展开式的通项公式得Tr＋1＝C6rx6－r2r，当6－r＝3时，r＝3，所以x3的系数为23×C63＝8×20＝160.故选D.课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理4．在(x－1)(x－2)(x－3)的展开式中，x2项的系数为________________________________________________________________________．解析：(－3－2－1)x2＝－6x2.答案：－6课前自主学习随堂即时巩固规律方法总结课时活页训练上页下页课堂互动讲练思维误区警示第十章排列、组合和二项式定理课时活页训练