2014届高三数学一轮复习专讲：2.11变化率与导数、导数的计算

一、导数的基本概念1．平均变化率：函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.fx2－fx1x2－x1ΔyΔx2．导数的概念：(1)函数f(x)在x＝x0处的导数：①定义：称函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，用f′(x0)表示，记作＝.f′(x0)＝limΔx→0fx1－fx0x1－x0limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点处的(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为．(x0，f(x0))切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)(2)函数f(x)的导函数：一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的，通常也简称为导数．fx＋Δx－fxΔx导函数二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝nxn－1cosx－sinxaxlnaex01xlna1x三、导数的运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝；2．[f(x)·g(x)]′＝；3.fxgx′＝(g(x)≠0)．f′xgx－fxg′x[gx]2f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′(x)±g′(x)四.复合函数的导数设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝，即y′x＝.f′(u)·v′(x)y′u·u′x[小题能否全取]答案：B1．一物体作竖直上抛运动，它距地面的高度h(m)与时间t(s)间的函数关系式为h(t)＝－4.9t2＋10t，则h′(1)＝()A．－9.8B．0.2C．－0.2D．－4.9解析：h′(t)＝－9.8t＋10，∴h′(1)＝0.2.2．曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为()A．2B．－2C.12D．－12解析：依题意得y′＝1＋lnx，y′|x＝e＝1＋lne＝2，所以－1a×2＝－1，a＝2.答案：A3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t)＝2t3－12gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，它的加速度是()A．14m/s2B．4m/s2C．10m/s2D．－4m/s2解析：由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．答案：A4．(2012·广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝05．函数y＝xcosx－sinx的导数为________．解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：－xsinx1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．[例1]用定义法求下列函数的导数．(1)y＝x2；(2)y＝4x2.利用导数的定义求函数的导数[自主解答](1)因为ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝x＋Δx2－x2Δx＝x2＋2x·Δx＋Δx2－x2Δx＝2x＋Δx，所以y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.(2)因为Δy＝4x＋Δx2－4x2＝－4Δx2x＋Δxx2x＋Δx2，ΔyΔx＝－4·2x＋Δxx2x＋Δx2，所以limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－4·2x＋Δxx2x＋Δx2＝－8x3.根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)计算导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．解：(1)∵s＝8－3t2，∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，v＝ΔsΔt＝－6－3Δt.(2)法一(定义法)：质点在t＝1时的瞬时速度v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－6－3Δt)＝－6.法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t.当t＝1时，v＝－6×1＝－6.[例2]求下列函数的导数．导数的运算(1)y＝x2sinx；(2)y＝ex＋1ex－1；(3)y＝ln(2x－5)．[自主解答](1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12＝exex－1－ex＋1exex－12＝－2exex－12.(3)令u＝2x－5，y＝lnu，则y′＝(lnu)′u′＝12x－5·2＝22x－5，即y′＝22x－5.求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．(3)复合函数求导的关键是分清函数的复合形式，其导数为两层导数的积，必要时可换元处理．2．求下列函数的导数．(1)y＝ex·lnx；(3)y＝3－x.解：(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·1x＝exlnx＋1x.(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)(理)设u＝3－x，则y＝3－x由y＝u12与u＝3－x复合而成．故y′＝f′(u)·u′(x)＝(u12)′(3－x)′＝12u12(－1)＝－12u12＝－123－x＝3－x2x－6.[例3](1)(2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15导数的几何意义(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．－14B．2C．4D．－12[答案](1)C(2)C[自主解答](1)y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.(2)∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝k＝2.又f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4.若例3(1)变为：曲线y＝x3＋11，求过点P(0,13)且与曲线相切的直线方程．解：因点P不在曲线上，设切点的坐标为(x0，y0)，由y＝x3＋11，得y′＝3x2，∴k＝y′|x＝x0＝3x20.又∵k＝y0－13x0－0，∴x30＋11－13x0＝3x20.∴x30＝－1，即x0＝－1.∴k＝3，y0＝10.∴所求切线方程为y－10＝3(x＋1)，即3x－y＋13＝0.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知切线过某点M(x1，f(x1))(不是切点)求切点，设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝fx1－fx0x1－x0＝f′(x0)求解．3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．(2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋lnx相切，则b的值为()A．－2B．－1C．－12D．1解析：(1)y′＝3lnx＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.(2)设切点的坐标为a，－12a＋lna，依题意，对于曲线y＝－12x＋lnx，有y′＝－12＋1x，所以－12＋1a＝12，得a＝1.又切点1，－12在直线y＝12x＋b上，故－12＝12＋b，得b＝－1.答案：(1)y＝4x－3(2)B[典例](2012·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋154x－9都相切，则a等于()A．－1或－2564B．－1或214C．－74或－2564D．－74或7[答案]A[尝试解题]设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x30)，所以切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，即y＝3x20x－2x30，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝32，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋154x－9相切可得a＝－2564，当x0＝32时，由y＝274x－274与y＝ax2＋154x－9相切可得a＝－1.1.在解答本题时有两个易误点：(1)审题不仔细，未对点(1，0)的位置进行判断，误认为(1，0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系.2.解决与导数的几何意义有关的问题时，应注意：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数、复合函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握.针对训练(2013·广州模拟)已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为()A.278B．－2C．2D．－278解析：设切点坐标为(t，t3－at＋a)．由题意知，f′(x)＝3x2－a，切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a.①所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)．②将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝32.分别将t＝0和t＝32代入①式，得k＝－a和k＝274－a，由题意得它们互为相反数，得a＝278.答案：A教师备选题（给有能力的学生加餐）1．(2011·湖南高考)曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为()解题训练要高效见“课时跟踪检测（十四）”A．－12B.12C．－22D.22解析：y′＝cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinxsinx＋cosx2＝11＋sin2x，把x＝π4代入得导数值为12.答案：B2．已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，而α的取值范围是()A.0，π4B.π4，π2C.π2，3π4D.3π4，π解析：y′＝－4e